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Aufgabe:

Ich lese gerade das Buch Algebraische Zahlentheorie von Jürgen Neukirch und da verstehe ich gerade einen Beweis nicht.
Nämlich:

Satz (Seite 37, Kapitel 1 Abschnitt 6, Satz 6.1):
Ist \(I = P_{1}^{v_{1}} \ldots P_{r}^{v_{r}}\) die Primzerlegung eines Ideals \(I \neq 0\), so gilt
  \[
    \mathcal{N}(I)=\mathcal{N}\left(P_{1}\right)^{v_{1}} \cdot \ldots \cdot \mathcal{N}\left(P_{r}\right)^{v_{r}} \; \: \{\mathcal{N} \text{ist die Absolutnorm}\}
  \]
Beweis:
    Mit (verallgemeinerter) chinesischem Restsatz folgt
    \(\mathcal{O}_{K} / I=\mathcal{O}_{K} / P_{1}^{v_{1}} \oplus \cdots \oplus \mathcal{O}_{K} / P_{r}^{v_{r}}\)
    Nehme also weiterhin $I$ als eine Primidealpotenz \(P^{v}\) an. In der Kette
    \[
        P \supseteq P ^ { 2 } \supseteq \cdots \supseteq P ^ { v }
    \]
    ist \(P^i \neq P^{i+1}\) wegen der eindeutigen Primzerlegung, und jeder Quotient \(P^{i}/P^{i+1}\) ist ein \(\mathcal{O}_K/P\)-Vektorraum der Dimension 1. In der Tat, ist \(a \in P^{i}\setminus P^{i+1}\) und \(J=\langle \alpha \rangle+P^{i+1}\), so ist
    \(P ^ { i } \supseteq J \supsetneq { P } ^ { i + 1 }\) und folglich \(P^{i}=J\), weil sonst \(J ^ { \prime } = J P ^ { - i }\) ein echter Teiler von \(P = P ^ { i + 1 } P ^ { - i }\) wäre. Daher bildet \(\overline { a } = a \bmod P ^ { i + 1 }\) eine Basis des \(\mathcal{O}_K/P\)-Vektorraums \(P^{i}/P^{i+1}\). Wir haben also \(P ^ { i } / P ^ { i + 1 } \cong \mathcal { O } _ { K } / P\) und somit
    \(\mathcal{N} \left( P ^ { v } \right) = \left( \mathcal { O } _ { K } : P ^ { v } \right) = \left( \mathcal { O } _ { K } : P \right) \left( P : P ^ { 2 } \right) \ldots \left( P ^ { v - 1 } : P ^ { v } \right) = \mathcal{N} ( P ) ^ { v }\).

Weshalb ist \(P^{i}=J\) ? Ich verstehe die Begründung nicht und wieso folgt aus \(P ^ { i } / P ^ { i + 1 } \cong \mathcal { O } _ { K } / P\) die Gleichheit \(\left( \mathcal { O } _ { K } : P ^ { v } \right) = \left( \mathcal { O } _ { K } : P \right) \left( P : P ^ { 2 } \right) \ldots \left( P ^ { v - 1 } : P ^ { v } \right) = \mathcal{N} ( P ) ^ { v }\) ?

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