Alter berechnen: Summe des heutigen Alters von Anna,Bert und Chris ist 60.

Question

Die Summe des heutigen Alters von Anna,Bert und Chris ist 60.Dabei ist Anna um genauso viele Jahre älter als Bert,wie Bert älter ist als Chris.In dem Jahr,in dem Bert so alt ist wie Anna jetzt,ist Anna dreimal so alt wie Chris jetzt.


Zeige zunächst,dass Anna,Bert und Chris ein eindeutiges Alter haben und dann berechne.

Answer 1

Ich kürze Anna mit a, Bert mit b und Chris mit c ab, Außerdem verwende ich die Variable x, um die Altersdifferenzen zu bezeichnen.

Die ersten drei Gleichungen sind relativ einfach aufzustellen:

a + b + c = 60

a - x = b

b - x = c

Die letzte Information ist ein wenig "trickig". In wieviel Jahren ist Bert so alt wie Anna heute? Nun, da Bert heute x Jahre jünger ist als Anna heute, wird er in x Jahren so alt sein wie Anna heute. Dann aber wird ist auch Anna x Jahre älter sein, also a + x Jahre alt, und wird dann 3 mal so alt sein wie Chris heute, also

a + x = 3 * c

Um zunächst die Eindeutigkeit der Lösung festzustellen, stellt man nun eine Matrix des entsprechenden linearen Gleichungssystems auf. Das lässt sich hier leider nur unzureichend darstellen, aber eigentlich ist das ja auch nicht so schwierig.

Man bringt zunächst alle 4 Gleichungen in die Form  

k1 * a + k2 * b + k3 * c + k4 * d = 0

und schreibt dann die Koeffizienten in eine um den Lösungsvektor erweiterte Koeffizientenmatrix hin, also:

1 a + 1 b + 1 c + 0 x = 60

1 a - 1 b + 0 c - 1 x = 0  

0 a + 1 b - 1 c - 1 x = 0

1 a + 0 b - 3 c + 1 x = 0

=> Matrix (weil man schlau ist, vertauscht man gleich die dritte und die  vierte Zeile):

a b c x

1 1 1 0 | 60

1 -1 0 -1 | 0

1 0 - 3 1 | 0

0 1 -1 -1 | 0

Diese Matrix  bringt man nun in Dreiecksform. Wenn das gelingt, ohne dass eine Nullzeile entsteht, dann ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.

Nach mehreren Schritten erhält man z.B.:

a b c x

1 1 1 0 | 60

0 2 1 1 | 60

0 0 7 -3 | 60

0 0 0 1 | 8

Diese Matrix ist in Dreiecksform und daher ist das zugrundeliegende Gleichungssystem eindeutig lösbar.

Die Lösung kann man rasch ermitteln:

x = 8

7 c = 60 + 3 x = 84 <=> c = 12

2 b = 60 - x - c = 40 <=> b = 20

a = 60 - b - c = 28  

Also: Anna ist heute 28, Bert 20 und Chris 12 Jahre alt.