Lineares Gleichungssystem lösen

Question

ich hab folgende Aufgabe gegeben:

Betrachtet wird das lineare Gleichungssystem:
1) -a-4b+2c-3e=3

2)            c-d+e=1

3) 2a+8b-c+d-e=1

Ich soll jetzt eine allgemeine Lösung, eine spezielle und eine Basis des Lösungsraums zu dem LGS angeben.

Ich erspare euch das ganze rumgerechne, ich hab e = k und b = m gesetzt und hab folgende Werte raus.

a=1-4m-3k

b=m

c=2

d=1+k

e=k

Das müsste soweit stimmen, jetzt hab ich als allgemeine Lösung

x= \( \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\1\\0 \end{pmatrix} \) + k \( \begin{pmatrix} -3\\0\\0\\1\\1 \end{pmatrix} \) + m \( \begin{pmatrix} -4\\1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

kann mir jemand sagen ob das stimmt und wenn ja, wie ich 1. eine spezielle Lösung angebe(ich vermute, einfach für k und m ausgedachte Werte einsetzen?) und wie ich eine Basis des Lösungsraums angeben kann.

Answer 1

Naja, zur Kontrolle muss Du ja nur Deine Lösung einsetzen

Meine Losung

\(\small L:= \left\{  \left\{ a = -4 \; b + 1, b = b, c = \frac{3}{2} \; e + 2, d = \frac{5}{2} \; e + 1, e = e \right\}  \right\} \)

L eingesetzt {3 = 3, 1 = 1, 1 = 1}

Comments

Hab es mal eingesetzt, scheint zu passen, weißt du was nun die spezielle Lösung ist? Ich finde den Begriff sehr verwirrend

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Eine spezielle Lösung erhältst Du, wenn Du konkrete Werte für Deine freien Variablen k,m wählst.

Wir haben beide b,e als freie Variablen gewählt, dann sollten unsere beiden Lösungen auch übereinstimmen und bis auf Vielfache die gleichen Basis Vektoren aufweisen...

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Kannst du mir zeigen wie du gerechnet hast? Also ich habe

\( \begin{pmatrix} -1 & -4 & 2& 0 & -3=3\\ 0& 0& 1 & -1 & 1=1\\ 2 & 8 & -1& 1 & 5=1\end{pmatrix} \)

Jetzt mache ich die 3 Zeile + 2*der ersten

\( \begin{pmatrix} -1 & -4 & 2& 0 & -3=3\\ 0& 0& 1 & -1 & 1=1\\ 0 & 0 & 3& 1 & -1=7\end{pmatrix} \)

Jetzt mache ich die 3 Zeile - 3* der zweiten

\( \begin{pmatrix} -1 & -4 & 2& 0 & -3=3\\ 0& 0& 1 & -1 & 1=1\\ 0 & 0 & 0& 4& -4=8\end{pmatrix} \)

3. zeile

4d-4e = 8 alles durch 2

d-e=1

e=k

d= 1+k

...

Rechne ich falsch? Eigentlich müsste dass doch so stimmen oder nicht :/

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Wo kommt den die 5 in der letzten Gleichung 1. Schritt her? Außerdem stimmt das Vorzeichen nicht?

Im letzten Schritt 3. Gleichg. muss es -3+7  heissen <> 8.

Warum hörst Du mitten drinn auf?

Wie lautet das korrekte LGS?

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Entschuldigung ich hab einen Tippfehler beim abschreiben gemacht :(

Es müsste in der 1. Gleichung

2a+8b-c+d-5e=1 heißen und nicht 2a+8b-c+d-e=1. Stimmen unsere Lösungen dann überein? Bin Gestern einfach fertig gewesen und hab den Tippfehler nicht gepeilt sorry...

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Dann musst es in Deiner Matrix auch -5 heissen ()was nicht der Fall ist) und als Lösung kommt

\(\small \left\{  \left\{ a = -4 \; b + 2 \; e + 1, b = b, c = \frac{5}{2} \; e + 2, d = \frac{7}{2} \; e + 1, e = e \right\}  \right\} \)

in Frage.

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Ich rechne es jetzt nochmal komplett durch und melde mich dann wieder

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Das richtige LGS ist

1) -a-4b+2c-3e=3

2)            c-d+e=1

3) 2a+8b-c+d+5e=1

Ich weiß nicht wie ich in der letzten Zeile einmal die 5 weggelassen und einmal ein minus statt einem plus geschrieben habe..nach sovielen Stunden Mathe kann ich mich scheinbar gar nicht mehr konzentrieren. Jetzt müssten unsere Lösungen aber passen ich habs nochmal nachgerechnet mit den obigen Werten ansonsten bin ich echt zu blöd.

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Unabhängig davon ob meine Lösung stimmt, eine spezielle Lösung ist dann wenn ich bsp b=2 und e=1 setzte und dann in meinen Lösungsvektor einsetze. Der Vektor der dabei dann rauskommt ist meine spezielle Lösung, ist das soweit richtig? Wie gebe ich nun eine Lösungsbasis an? Vielen Dank dir für die riesen Hilfe!

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Zur Kontrolle

https://www.geogebra.org/cas

Solve({-a-4b+2c-3e=3 , c-d+e=1 , 2a+8b-c+d+5e=1},{a, b, c, d, e})

{{a = ((-4) * b) - (3 * e) + 1, b = b, c = 2, d = e + 1, e = e}}

Wenn schon spezielle Lösung, dann würde ich b=e=0 wählen?

Die Basis sind die Vektoren an denen Dein k(e) und m(b) steht...

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Also ist für k=m=0 die spezielle Lösung

\( \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\1\\0 \end{pmatrix} \)

Wie du das mit der Basis meinst verstehe ich aber nicht, ich finde auch nichts dazu im Internet, oder ich weiß nicht wonach ich googlen muss.

Oder meinst du einfach

\( \begin{pmatrix} -3\\0\\0\\1\\1 \end{pmatrix} \)

und

\( \begin{pmatrix} -4\\1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

?

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Richtig!

Das ist eine Ebene (auch im R^5). Erinnere Dich an den R^3 - da kann man sich was vorstellen dazu. Du hast einen Ortsvektor (k=m=0) an den du weitere durch Deine beiden Richtungsvektoren "gegebene Lösungen anhängen" kannst..

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Die Basis sind die Vektoren an denen Dein k(e) und m(b) steht...

Ist das so? Was ist mit dem konstanten Anteil?

Die Abbildung \((k,m) \to (a,b,c,d,e)\) ist keine lineare mehr - oder?