Warum ist die Rechteckregel genauer als die Trapezregel?

Question

Aufgabe:

In meiner Aufgabe soll ich verschiedene numerische Verfahren vergleichen, unter anderem das Trapezverfahren und das Rechteckverfahren (hierbei gehe ich vom Mittelwert/summe aus). Die Fläche zu f(x)=4/x im Intervall von [1;4] ist anzunähern, also an sich nicht schwer.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist nun, dass ich oft gelesen habe, dass die Trapezregel genauer sein soll, als die Rechteckregel. Was für mich an sich auch verständlich ist, weil schließlich Trapeze eher den Graphen der Funktion annähern als Rechtecke. Leider ist die Trapezregel bei mir aber nicht genauer als die Rechteckregel. Ich habe einfach mal n=3 gewählt und komme dann auf folgende Ergebnisse:

Rechteckregel(Mittelwert vom Ober- und Untersumme): 5,41

Trapezregel: 5,833

Die genaue Antwort mit der "normalen" Integralformel berechnet ist: 5,545

Somit ist die Rechteckregel um einiges genauer als die Trapezregel.

Ich habe beim GeoGebra Onlinerechner mal mit anderen Funktionen und n-Werten herumgespielt und bin immer auf das Ergebnis gekommen, dass die Rechteckregel, wenn auch nur minimal, genauer ist.

Wieso?

Comments

Ich denke, dass du klar sagen müsstest, was genau du unter "Trapezregel" und "Rechtecksregel" verstehen willst.

Genaue Definitionen !

Answer 1

Hallo

 die Rechteckregel  mit dem Mittelpunkt und die Trapezregel integrieren beide nur Geraden richtig,  sind also etwa gleich schlecht oder gut, besser ist die Trapezregel nur gegenüber der Rechteckigen , wenn man einen der Endpunkte der Intervalle als Höhe  benutzt. Also ist die Trapezregel wie du gesehen hast nicht besser, wesentlich besser ist die Simpsonregel auch Keplersche Maßregel, die integriert noch Polynome  dritten Grades exakt.

"dass ich oft gelesen habe, dass die Trapezregel genauer sein soll, als die Rechteckregel." glaub ich kaum.

Gruß lul

Comments

Die Mittelpunktregel ist doppelt so gut wie die Trapezregel.

Der Quadraturfehler der Mittelpunktregel ist f''(ξ)\( \frac{b-a}{24}\), während der Quadraturfehler der Trapezregel f''(ξ)\( \frac{b-a}{12} \) ist. Der Beweis leitet sich aus dem Satz von Taylor ab.

Quelle: Ich habe gerade einen computergestützten Beweis darüber geführt.

Weitere Quelle: Kapitel 9.2 aus Numerische Mathematik 2

Beweis des Fehlers der Mittelpunktregel

Beweis des Fehlers der Trapezregel

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Der Quadraturfehler der Mittelpunktregel ist ...

Und wie groß ist der Quadraturfehler bei der Quadraturformel mit nur zwei Stützstellen \(x_{1,2}\) - also in diesem konkreten Fall im Intervall \([1\dots 4]\):$$x_{1,2} = \frac12\left(5\mp\sqrt{3}\right)\\F \approx 3\cdot \frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_2\right)}{2}\approx 5,45$$??

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Gauß-Formel mit \(n=2\), sollte auf diesem Intervall \(\frac9{160}f^{(4)}(\xi)\) sein.

Man kann bei Quadraturformeln Fehlerordnungen vergleichen, und die Koeffizienten der führenden Fehlerterme. Daher kommt man zu Faustregeln, welche Formel günstiger ist als andere. Das sind aber nur Faustregeln, es kommt auch immer auf die anderen Fehlerterme (in der weiteren Fehlerentwicklung) an, daher kann es trotzdem sein, dass eine in der Regel(!) schlechtere Formel doch mal genauer ist.

Im übrigen ist in der Numerik Fehlerordnung nicht alles. Welche Methode in konkreten Anwendungen am günstigsten ist, hängt noch von anderen Dingen ab.

Im übrigen wundere ich mich immer über Beispiele wie \(f(x)=\frac4x\), das erste was man tut, ist doch den Faktor 4 rausziehen, damit man es nur noch mit \(\frac1x\) zu tun hat.

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Gauß-Formel mit \(n=2\), sollte auf diesem Intervall \(\frac9{160}f^{(4)}(\xi)\) sein.

Danke!

D.h. die Quadraturformel mit zwei Stützstellen ist besser als die Mittelpunktregel mit drei Stützstellen und die ist besser als das Trapezverfahren mit vier Stützstellen ... Interessant!

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Bei den Gauss-Formeln sind eben zusätzlich zu den Gewichten auch die Stützstellen auf hohe Fehlerordnung getrimmt. Hat aber auch Nachteile in der Anwendung.

Answer 2

Der Mittelwert von Obersumme (obere Begrenzung der Rechtecke schwarz) und Untersumme (obere Begrenzung der Rechtecke rot)

ist gleich der Summe der Trapezflächen (obere Begrenzung der Trapeze grün), nämlich \( \frac{35}{6} \)≈5,83.