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\(\limsup\) und \(\liminf\) von \(a_n:=(-1)^n\cdot 1/n-2n^2(1+(-1)^n)+n/(n+1)\) mit \(n\in \mathbb{N}\) bestimmen

ich habe herausgefunden, dass die Teilfolge \((a_{2k})\) gegen \(-\infty\) divergiert. Des Weiteren konvergiert \(a_{2k-1}\) gegen \(1\). Sei nun \(H\) die Menge der Häufungspunkte von \(a_n\), dann ist \(H=\{1\}\).

Wie kann ich nun differenzieren, wenn nur ein Element gegeben ist, was nun \(\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\) und \(\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\) ist.

Bzw. was sagt mir das über \((a_n)_n\) aus, wenn \(\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k}=-\infty\) und \(\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k-1}=1\).

Ist \((a_n)_n\) deswegen nach oben beschränkt durch \(1\) und nicht nach unten beschränkt?

Avatar von 28 k

Leibniz nannte sie Vernunftwahrheiten, das sind dadurch aber noch lange keine Tatsachenwarheiten:

Ich denke, dass \(\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=1\).

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Beschränkt nach oben muss sie nicht durch 1 sein, es können ja auch Folgengleider größer 1 auftreten.

Allerdings ist lim sup = 1 und lim inf = - ∞ .

Kleinster und größter Häufungspunkt.

Avatar von 287 k 🚀
Beschränkt nach oben muss sie nicht durch 1 sein, es können ja auch Folgengleider größer 1 auftreten.

Könntest du die These durch ein Beispiel untermauern? Ich denke nicht, dass es Folgenglieder gibt, die echt größer als 1 sind.

"muss sie nicht durch 1 sein," bezog sich nur darauf, dass man dies

nicht aus der Kenntnis des lim sup schließen kann.

Wir haben den Limes Superior wie folgt definiert. Sei \(H\) die Menge der Häufungspunkte und \((a_n)_n\subset \mathbb{R}\) $$\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}a_n:=\begin{cases}\sup H, \text{ wenn } (a_n)_n \text{ nach oben beschränkt ist} \\ \infty, \text{ sonst.}\end{cases}$$$$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}a_n:=\begin{cases}\inf H, \text{ wenn } (a_n)_n \text{ nach unten beschränkt} \\ -\infty, \text{ sonst.}\end{cases}$$ In meinem Beispiel ist \(H=\{1\}\). Wie kann man von einer einelementigen Menge das Supremum und das Infmum bestimmen, es gibt ja keinen Bezugspunkt (größer/kleiner).

Bei einer 1-elementigen Menge ist das sup gleich dem max

also gleich diesem El.

Also ist 1 der größte Häufungspunkt, aber es muss nicht unbedingt

eine obere Schranke sein, selbst wenn es in diesem Fall so ist.

Und weil die eine Teilfolge wirklich  gegen -∞ geht, dann gilt

auch nach deiner Def:

(an)n∈ℕ nach unten unbeschränkt, also lim inf = - ∞

 \((a_n)_n\) ist ja gerade nur nach oben beschränkt. Nach unten ist sie nicht beschränkt. Oder verstehe ich das falsch? Für gerade \(n\) divergiert die Folge gegen \(-\infty\). Aber kann man das schon an den Eigenschaften der Teilfolgen festmachen?

(an)n(an)n ist ja gerade nur nach oben beschränkt. Nach unten ist sie nicht beschränkt. Oder verstehe ich das falsch?

Sehe ich auch so !

Das  kann man das schon an den Eigenschaften der Teilfolgen festmachen.

Also kann man schreiben, dass \((a_n)_n\) nach unten beschränkt ist, wegen der Eigenschaft, dass \(\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k}=-\infty\)?

Du meinst

kann man schreiben, dass (an)n(an)n nach unten NICHT beschränkt ist,

Das stimmt.

Ja, das meine ich. Danke.

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