Warum hat x² = -1 mod p hat keine Lösung?

Question

Warum hat x² Ξ -1 mod p keine Lösung in ℤ (p ist Primzahl)?

Dankeschön für eure Antworten.

Comments

Hast du bei der Aufgabenstellung was vergessen?


z.B. ist für p=2 x=1 eine Lösung.,

ebenso für p=5 ist x=2 eine Lösung...

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Das Minuszeichen vor der 1?

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Das Minuszeichen vor der 1?

Was willst du damit sagen?

Natürlich habe ich das in meinem vorigen Post berücksichtigt. Grundlegende Kenntnisse der modulo-Rechnung wären hier natürlich von Vorteil.

Was du wahrscheinlich vergessen hast ist die Bedingung $$p\equiv 3 \mod 4$$ die äquivalent zu obiger behauptung ist.

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Du hast natürlich Recht.

p  ≡ 3 mod 4

Entschuldige für die Umstände.

Answer 1

Sei $-1$ ein Quadrat in der primen Restklassengruppe $F^*:=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$,
die aus $p-1$ Elementen besteht.
Dann gibt es ein $x\in F^*$ mit $x^2=-1$.
Folglich ist die Ordnung von $x$: $ord(x)=4$.
Nach Lagrange ist die Ordnung eines Gruppenelementes Teiler der Gruppenordnung,
also hier $4\,| \, p-1$, d.h. $p\equiv 1$ mod $4$.
Ist hingegen $p\equiv 3$ mod $4$, so ist folglich $-1$ kein Quadrat.