Bestimmen Sie (p-1)! mod p

Question

Aufgabe:

Sei \( p \) eine Primzahl.
Zu jeder Zahl \( x \not \equiv 0 \) \( (\bmod p) \) gibt es eine Zahl \( \bar{x} \) mit \( x \bar{x} \equiv 1(\bmod p) \quad \).

Zeigen Sie, dass \( x \equiv \bar{x}(\bmod p) \) genau für \( x \equiv 1 \) und \( x \equiv-1 \) gilt. Bestimmen Sie damit \( (p-1) ! \bmod p \).

Problem/Ansatz:

Hallo, komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Wie sieht die Lösung dazu aus?

Comments

Hallo

mach es doch mal mit p=5  notfalls noch für 7 z.B. dann siehst du wie es läuft

dir ist klar, dass p-1=-1 mod p ist?

Gruß lul

Answer 1

Zur ersten Behauptung:

ist \(x\not \equiv 0\) mod \(p\), dann ist ggT(\(x,p\))\(=1\).

Der euklidische Algorithmus liefert ganze Zahlen \(a,b\) mit

\(ax+bp=1\), also \(ax\equiv 1\) mod \(p\).

Wähle \(\bar{x}=a\).

Zur zweiten Behauptung:

\(Z/pZ\) ist ein Körper. Daher hat \(x^2=1\) höchstens 2 Lösungen:

\(x=1\) und \(x=-1\) sind 2 Lösungen, die im Falle \(p=2\)

jedoch zusammenfallen.