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Sei a ∈  Z. Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung
ax ≡ 0 (mod m) in  Z m

wenn
(a) m eine Primzahl ist ;
(b) m ∈ N>0 beliebig

Ich hab keine Ahnung wie ich das Lösen soll i

Ich weiss nur das Zm = {[a] | a \in Z } [a] := {x \in Z | x = mk+a , k \in Z}

Nachtrag: Ist gemäss Anonym als Restklassenring modulo m zu lesen:

 Zm = { [a] | a ∈ Z }       wobei   [a] := {x ∈ Z | x = mk+a , k ∈ Z }
von
Kannst du ev. angeben, wie man:

Zm = {[a] | a \in Z } [a] := {x \in Z | x = mk+a , k \in Z}

vorlesen würde? Kann mit unter \in Z nicht viel vorstellen.
x scheint ja eine lineare Funktion zu sein.
\in ist in Latex ∈

demnach müsste es meines Erachtens lauten: Zm = { [a] | a ∈ Z } [a] := {x ∈ Z | x = mk+a , k ∈ Z }

1 Antwort

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Beste Antwort

Sei a ∈  Z. Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung
ax ≡ 0 (mod m) in  Zm

heisst in Zm, dass die Restklassen [ax] und [0] gleich sind.

[0] = {…-2m, -m, 0, m, 2m,…} = {z| z= km, k  ∈ Z}. 

Allgemein gilt: Sobald Restklassen modulo m ein gemeinsames Element haben, sind sie gleich.

und sobald eine Restklasse ein Element enthält, das in der andern nicht vorkommt, haben sie gar kein gemeinsames Element. Somit muss man nur schauen, ob ax in [0] enthalten ist.

Somit ist

ax = km zu lösen.

wenn
(a) m eine Primzahl ist ;

ax = km ist zu lösen.  
Falls a=0 gilt 0x = 0m =0 für alle x ∈ Z. L = {[0],[1],[2],[3],[4],…[m-1]}
Falls a≠0 gilt ax= km    
kann gelöst werden mit x=0 und k=0. Also L={[0],…?}
wenn auch x≠0, müsste x oder a durch m teilbar sein. alle durch m teilbaren x sind in [0] schon enthalten.
man kommt nur zu weiteren Lösungen, wenn a durch m teilbar ist. in diesem Fall ist aber [a]=0.

Fazit:

Für a ein Vielfaches von m oder 0, also [a] = [0] folgt L = {[0],[1],[2],[3],[4],…[m-1]}
Für a kein Vielfaches von m und nicht 0, also [a] ≠ [0] folgt L = {[0]}


(b) m ∈ N>0 beliebig

 

Es ist   ax = km zu lösen.

Für a ein Vielfaches von m oder 0, also [a] = [0] folgt auch hier L = {[0],[1],[2],[3],[4],…[m-1]}

Sonst: ax = km, geht sicher, wenn x=0. L={[0],…}
Weitere Lösungen findet man mit der Primfaktorzerlegung aller Faktoren, von denen keiner mehr 0 sein kann.

ax = km habe die Primfaktorzerlegung

a1*a2*…x = k1*k2…m1*m2…
Die Primfaktoren ai können entweder mit den mi weggekürzt werden, oder sie treten auch bei den ki auf.
Es bleibt nach geeigneter neuer Nummerierung:

x =km/a = a1*a2*…k1*…m1*m2… Die gemeinsamen Teiler von a und m sind also hier weg.

In ax = km kann x also auch ein Vielfaches eines Teilers von m sein, wenn die anderen Teiler von m in a enthalten sind.

Wenn zB a1=m1, löst x=m/a1 die Gleichung ax = km.

Also L = {[0], [m/a1] ,… [m/weitere Teiler von a, die auch Teiler von m sind; nicht nur Primteiler]}

 

von 149 k
ich verstehe nicht ganz warum alle durch m teilbaren x in [0] enthalten sind und die darauf folgende festellung auch nicht
@Anonym: [0] = {…-2m, -m, 0, m, 2m,…} = {z| z= km, k  ∈ Z}.

Das liegt an der Definition von [a] = {x  ∈ Z| x= km +a, k  ∈ Z}. Mit a=0, bleibt z=km+0=km. und k kann jedes Element von Z sein.

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