Ist jede 4n Zahl ist Differenz zweier Primzahlquadrate

Question

Zeige, dass jede 4n Zahl die Differenz zweier Primzahlen p²  und q² ist.

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Ist jede 4n Zahl ist Differenz zweier Primzahlquadrate

Um zu zeigen, dass jede Zahl der Form $4n$ die Differenz zweier Primzahlquadrate ist, betrachten wir die Primzahlen $p$ und $q$ mit $p > q$ und setzen $n = (p^2 - q^2)/4$. Wir müssen zeigen, dass eine solche Darstellung für jedes $n$ existiert.

Zunächst ist wichtig zu erkennen, dass die Differenz zweier Quadrate wie folgt ausgedrückt werden kann:
$p^2 - q^2 = (p + q)(p - q)$

Für eine Zahl der Form $4n$, also $4$ mal einer beliebigen natürlichen Zahl, ist es nötig, dass die Produktform $(p + q)(p - q)$ ebenfalls durch $4$ teilbar ist. Damit dies der Fall ist, müssen einige Bedingungen erfüllt sein:

1. Da $p$ und $q$ ungerade sind (da sie Primzahlen außer $2$ sind), sind $p + q$ und $p - q$ beide gerade.
2. Um sicherzustellen, dass das Produkt $(p + q)(p - q)$ nicht nur gerade, sondern durch $4$ teilbar ist, muss mindestens einer der Terme $(p + q)$ oder $p - q$ zusätzlich durch $4$ teilbar sein.

Dies ist generell machbar, indem man berücksichtigt, dass Primzahlen (außer $2$) immer ungerade sind und ihre Summe oder Differenz bestimmte Eigenschaften hat. Beispielsweise, wenn $p$ und $q$ beide einen Abstand haben, der ein Vielfaches von $4$ ist (d.h., $p - q = 4k$ für ein $k$), dann wird das Produkt $(p + q)(p - q)$ durch $4$ teilbar sein, da $p - q$ es bereits ist. Dies führt dann zu einer Form, die $4n$ gleicht.

Nehmen wir jedoch einen Schritt zurück und betrachten wir die Realisierbarkeit dieser Behauptung allgemein, es stellt sich heraus, dass die ursprüngliche Behauptung nicht für jede Zahl $4n$ haltbar ist, sofern man beschränkt ist, dass sowohl $p$ als auch $q$ Primzahlen sein müssen.

Betrachten wir ein Gegenbeispiel: Die kleinste Zahl der Form $4n$ ist $4$. Es gibt keine zwei Primzahlen $p$ und $q$, deren Quadrate eine Differenz von $4$ ergeben. Der Grund liegt darin, dass die einzigen Quadrate von Primzahlen, die nahe genug beieinander liegen, um eine Differenz von $4$ zu ergeben, $2^2$ und $3^2$ sind, deren Differenz $5$ ist, nicht $4$.

Also, obwohl die Idee, dass viele Zahlen der Form $4n$ als Differenz zweier Primzahlquadrate ausgedrückt werden können, interessant ist, ist die pauschale Aussage, dass jede Zahl der Form $4n$ die Differenz zweier Primzahlquadrate ist, so nicht korrekt. Die Verwirrung kann daher rühren, dass viele spezifische Fälle existieren, die diese Form annehmen können, aber es ist nicht universell anwendbar auf alle Zahlen der Form $4n$ unter der strikten Bedingung, dass beide Zahlen Primzahlen sein müssen.