Zu zeigen: Grenzwert zweier Folgen gleich.

Question

Aufgabe:

Für 0< a < b seien die reellen Folgen (a_k)_k∈ℕ und (b_k)_k∈ℕ definiert durch

$$ a_{k+1}:=\sqrt{a_{k}\cdot b_{k}} $$und $$ b_{k+1}:=\dfrac {1} {2}\cdot\left(a_{k}+b_{k}\right) $$mit a₁:=a, b₁:=b.

Zeigen Sie, dass beide Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie ich hier vorgehen soll. Ich habe beispielhaft a₂ und b₂ angeschaut, und auch a₃ bzw. b₃ habe ich bereits auf dem Papier. Hier zeigt sich, dass b_k eine Nullfolge sein muss, falls a_k nicht stärker wächst.

Answer 1

Hallo

 das verstehe ich nicht  es ist immer a_k+1<=b_k+1, denn das eine ist das geometrische Mittel, das andere das harmonische Mittel.  sie nähern sich, wenn ak näher an bk rückt.

sei b>a dann gilt a> a1<b und a<b1<b mit b1>a1

dann a1<a2<b1 usw ak rückt immer näher an bk , wie du auf eine Nullfolge kommst verstehe ich nicht, fang mit a=1, b=2 oder umgekehrt an: a1=√2=1,414..  ;b1=1,5  a2=1,456.. b1=1,457 usw  du siehst sie laufen aufeinander zu

und b_k+1-a_k+1=(√a_k-√b_k)^2/2

Gruß lul