0 Daumen
1k Aufrufe

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Picard-Iterierten zu ɣ0(t) = 1 im Vektorfeld X :  → ℝ, y  y die Partialsummen der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion sind.

Ich muss also zeigen: ɣn(t) = 1 + t + (t2/2) + ... + (tn/n!) = Summe von k=0 bis n über (tk/(k!))

Das soll ich per vollständiger Induktion tun. Leider komme ich hier nicht voran – ich weiß nicht, wie ich hier (insbesondere im Induktionsschritt) vorgehen soll.

Kann mir jemand den Beweis skizzieren um mir auf die Sprünge zu helfen?

Ich freue mich auf Eure Antworten!

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
Behauptung: $${\gamma}_n(t)=\sum _{ k=0 }^{n  }{\frac { t^k }{k! }}$$
I.A: n=1
     $$ {\gamma}_1 (t)= 1+\int _{ 0 }^{ t }{X(1)ds  } =1+\int _{ 0 }^{ t }{1ds  } = 1+t =\sum_{k=0}^{1}{\frac{t^k}{k!}}$$

      Passt also für n=1!

I.V: Die Beh gelte für ein $$ n\in{\nu} $$ !

I.S:$$ n\rightarrow n+1$$

$${ \gamma  }_{ n+1 }(t)=1+\int _{ 0 }^{ t }{ X({ \gamma  }_{ n })ds }=1+\int _{ 0 }^{ t }{ \sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { s^{ k } }{ k! }  } ds }=1+\int _{ 0 }^{ t }{ 1+s+\frac { s² }{ 2 } +...+\frac { s^{n} }{ n! }}$$

Versuch mal damit weiter zumachen^^

Kann es sein, dass du auch in BI studierst und das für die Übung von Vertiefung Mathe: DGL brauchst?

Kommt mir nur so im Sinn weil ich die Aufgabe bis DO abgeben muss^^

Grüße N.L
Avatar von
Sry mein tex is nich das beste^^ bin da neu neuling drin
Danke, das hilft mir sehr!

Ja, ich muss die Aufgabe für die selbe Vorlesung lösen. :-)

Dein Latex ist übrigens super. Ich wusste gar nicht, dass man das hier auch nutzen kann.
| Danke, das hilft mir sehr!
Cool freut mich das ich helfen konnte^^

 |Dein Latex ist übrigens super.
Danke:)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community