Wie viele Nullstellen besitzt die Funktion innerhalb des Kreisrings

Question

Aufgabe:

 Wie viele Nullstellen besitzt die Funktion f(z)= z^6 + 81z - 81  innerhalb des Kreisrings {z∈ℂ : 2 < |z| < 3}? 

Answer 1

die Skizze sieht so aus:

Die Nullstellen kann man meines Wissens nur numerisch lösen. Z. B. mit dem Newton-Verfahren. Die Lösungen \(z_1=-2.572+0i\), \(z_{2,3}=1.71169\pm1.4723i\) und \(z_{4,5}=-0.920056 \pm 2.32469 i\) liegen in der Menge.

Comments

Wie ist das mit den komplexen Lösungen?

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Vergessen, nun dabei!

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Mehr nicht\(\)?

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.... jetzt aber.

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Du meinst \(z_{4,5}\)?

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Pardon, was meinst du?

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Falls einer von euch eine Skizze braucht: Hier die Nullstellen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E6+%2B+81z+-+81+%3D+0

Überlagert diese mit dem angegebenen Kreisring. Welche liegen in diesem Ring?

Und: Der Rand gehört nicht zum Ring. Sowie: Es ist nur nach einer Anzahl von Nullstellen gefragt. 

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Jo, es war lediglich eine Doppelbezeichnung - alle Nullstellen, die zur Menge gehören, sind in der Antwort.

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E6+%2B+81z+-+81+%3D+0,+2+%3C+%7Cz%7C+%3C+3

HIer passen noch 5 Nullstellen in den Kreis, wie du angegeben hattest. Könnte man die Anzahl Nullstellen abschätzen ohne WA? [Echte Frage :) Ich weiss, dass momentan (auch) nicht ]

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Wenn ich den Satz von Rouché richtig verstanden habe (oder zumindest seine Anwendung), dann müsste ich das so angehen:
Ich nehm mir ein g(z), so dass ich eine Abschätzung machen kann die entweder so |f(z)−g(z)|<|g(z)| oder so |g(z)|<|f(z)−g(z)| aussieht. (Sie sollen also einfach nicht gleich gross sein, ja?)

Aber: Egal wie ich g(z) wähle, die Abschätzung passt nie. Kann es sein, dass diese etwas verzwickt ist, oder stell ich mich so unfähig an?