Ansatz vom Störfunktionstyp DGL höherer Ordnung

Question

Aufgabe:

ich mache gerade Aufgaben zum Störfunktionstyp. Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie man dabei auf dem Ansatz kommt, auch was ich machen muss wenn Resonanz vorliegt. Als Beispiel die Störfunktion s(x):

$$\left. \begin{array} { l } { s ( x ) = x ^ { 2 } \cdot e ^ { - 4 x } } \\ { y _ { p } ( x ) = ( A x ^ { 2 } + B x + C ) \cdot e ^ { - 4 x } \cdot x ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

hier habe ich folgenden Ansatz gewählt. (ax^2+bx+c) wegen x^2, und x^2 wegen der Resonanz. Hier noch die homogene Lösung:

$$\left. \begin{array} { l } { \lambda _ { n } = - 4 \rightarrow y _ { 1 } = c _ { 1 } \cdot e ^ { - 4 x } } \\ { \lambda _ { 2 } = 1 \rightarrow y _ { 2 } = c _ { 2 } \cdot e ^ { x } } \end{array} \right.$$

Answer 1

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Meine Lösung:

Comments

Vielen Dank!

Kann ich das d dann einfach weglassen?

Und muss ich diese Gleichung nun ganz normal 2-mal ableiten und dann einsetzen?

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In y_p ist doch gar kein d mehr vorhanden.

Ja y_p 2  Mal ableiten und dann in die Aufgabe einsetzen.

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Ist das soweit richtig?

$$A D x ^ { 3 } \cdot e ^ { - 4 x } + B D x ^ { 2 } \cdot e ^ { - 4 x } + C D x \cdot e ^ { - 4 x }$$

AD=A

BD=B

CD=C

$$y _ { p } ( x ) = A \cdot x ^ { 3 } \cdot e ^ { - 4 x } + B \cdot x ^ { 2 } \cdot e ^ { - 4 x } + c \cdot x \cdot e ^ { - 4 x }$$

$$ y _ { p } ^ { \prime } ( x ) = ( 3 x e ^ { - 4 x } - 4 x ^ { 3 } \cdot e ^ { - 4 x } ) \cdot A $$

$$+ ( 2 x \cdot e ^ { - 4 x } - 4 x ^ { 2 } \cdot e ^ { - 4 x } ) \cdot B$$

$$+ ( e ^ { - 4 x } - 4 x ^ { 2 } e ^ { - 4 x } ) \cdot c$$

$$y _ { p } ^ { \prime \prime } ( x ) = ( 3 e ^ { - 4 x } - 12 x \cdot e ^ { - 4 x } - 12 x ^ { 2 } \cdot e ^ { - 4 x } + 16 x ^ { 3 } \cdot e ^ { - 4 x } ) \cdot A$$

$$+ ( 2 e ^ { - 4 x } - 8 x \cdot e ^ { - 4 x } - 8 x \cdot e ^ { - 4 x } + 16 x ^ { 2 } \cdot e ^ { - 4 x } ) \cdot B$$

$$+ ( - 4 e ^ { - 4 x } - 8 x \cdot e ^ { - 4 x } + 16 x ^ { 2 } \cdot e ^ { - 4 x } ) \cdot C$$

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Man bildet aus den 2 Konstanten eine neue Konstante, den Weg hatte ich gezeigt.

y_p stimmt , y_p'  fast, für C habe ich +C(e^(-4x) -4x e^(-4x) erhalten

damit ist yp'' falsch