Lösen Sie diese Differentialgleichungen (Lineare DGL höherer Ordnung)

Question

Aufgabe:

Auch bei homogenen Differentialgleichungen der Form

\( x^{(n)}+a_{n-1} x^{(n-1)}+\cdots+a_{1} x^{\prime}+a_{0} x=0 \)

führt der Exponentialansatz \( x(t)=e^{\lambda t} \) zur charakteristischen Gleichung, aus deren Nullstellen sich \( n \) Basislösungen der Differentialgleichung angeben lassen. Ist \( \tilde{\lambda} \) eine \( k \)-fache Nullstelle, so erhält man mit

\( t^{j} \cdot e^{\tilde{\lambda} t}, j=0, \ldots, k-1 \)

analog zu Differentialgleichungen 2 . Ordnung die gesuchten Basislösungen zu dieser Nullstelle.

Lösen Sie diese Differentialgleichungen:

a) \( x^{\prime \prime \prime}-2 x^{\prime \prime}-x^{\prime}+2 x=0 \)

b) \( x^{\prime \prime \prime}+2 x^{\prime \prime}+x=0 \)

c) \( x^{\prime \prime \prime}-2 x^{\prime \prime \prime}+2 x^{\prime}-x=0 \)

Answer 1

(a)  Die charakteristische Gleichung lautet \(r^3-2r^2-r+2=0\), d.h. \((r+1)(r-1)(r-2)=0\).

Es existieren also drei einfache reelle Nullstellen.

Demnach lautet die Lösung der DGL \(x(t)=c_1e^{-t}+c_2e^t+c_3e^{2t}\).