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1. Das Vektorprodukt

Neben dem Skalarprodukt  b \vec{b} ·a \vec{a} , das eine Zahl ist, gibt es das Vektorprodukt b \vec{b} ×a \vec{a} , das ein Vektor ist, der sowohl auf a \vec{a} als auch auf b \vec{b} senkrecht steht und dessen Länge gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms ist, das von a \vec{a} und b \vec{b} aufgespannt wird. Ein Vektor c \vec{c} , der sowohl zu a \vec{a} als auch zu b \vec{b} senkrecht und für eine geeignete reelle Zahl k gleich k∙(a \vec{a} ×b \vec{b} ) ist, lässt sich auch mit Hilfe des Skalarproduktes finden. Dazu macht man den Ansatz c \vec{c} =(xyz) \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}   und setzt eine der drei Unbekannten x, y oder z willkürlich fest. Die anderen beiden erhält man dann über a \vec{a} ·c \vec{c} =0 und b \vec{b} ·c \vec{c} =0.


Das Vektorprodukt der Vektoren (abc) \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} und (def) \begin{pmatrix} d\\e\\f \end{pmatrix} ist definiert durch (abc) \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} ×(def) \begin{pmatrix} d\\e\\f \end{pmatrix} =(bfcecdafaebd) \begin{pmatrix} bf-ce\\cd-af\\ae-bd \end{pmatrix}

2. Die Parameter-Form

Drei verschiedene Punkte A, B und C im Raum, die nicht auf einer Geraden liegen, legen genau eine Ebene e fest. Zu einem beliebigen Punkt X der Ebene e gelangt man, ausgehend vom Ursprung O des Koordinatensystems, auf folgendem Wege: OX \vec{OX} =OA \vec{OA} +μ·AB \vec{AB} +λ·AC \vec{AC} .    OA \vec{OA}   heißt „Stützvektor“, AB \vec{AB}   und AC \vec{AC} heißen „Richtungsvektoren“ der Ebene e. Die gesamte Gleichung heißt „Parameterform“ der Gleichung von e. μ und λ sind darin die Parameter.  Für A(a1|a2|a3) B(b1|b2|b3) und C(c1|c2|c3) ist  OA \vec{OA} = (a1a2a3) \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} ,  AB \vec{AB} = (b1a1b2a2b3a3) \begin{pmatrix} b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3 \end{pmatrix} und AC \vec{AC} =(c1a1c2a2c3a3) \begin{pmatrix} c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3 \end{pmatrix} .

Für X(x|y|z) ist OX \vec{OX} =(xyz) \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} und die Ebenengleichung heißt
(xyz) \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} =(a1a2a3) \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} +μ·(b1a1b2a2b3a3) \begin{pmatrix} b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3 \end{pmatrix} +λ·(c1a1c2a2c3a3) \begin{pmatrix} c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3 \end{pmatrix} .

3. Umwandung der Koordinatenform in die Normalenform

Das Durchmultiplizieren der Ebenengleichung x \vec{x} =a \vec{a} +μ·u \vec{u} + λ·v \vec{v}   mit dem zu u \vec{u} und v \vec{v} senkrechten Vektor n \vec{n} führt zur Gleichung x \vec{x} ·n \vec{n} =a \vec{a} ·n \vec{n} , welche die gleiche Ebene beschreibt. Der Vektor n \vec{n} heißt „Normale“ der Ebene und die Gleichung heißt Normalenform der Ebenengleichung. Der Stützvektor a \vec{a} bleibt in dieser Form sichtbar. Nach der Skalarmultiplikation auf der rechten Seite der Gleichung, steht dort eine Zahl.

Will man die Normalenform einer Ebenengleichung von e in die Parameterform der Ebenengleichung von e umwandeln, sucht man zunächst drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte A(a1|a2|a3) B(b1|b2|b3) und C(c1|c2|c3), die in e liegen, und setzt diese in   (xyz) \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} =(a1a2a3) \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} +μ·(b1a1b2a2b3a3) \begin{pmatrix} b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3 \end{pmatrix} +λ·(c1a1c2a2c3a3) \begin{pmatrix} c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3 \end{pmatrix}   ein.

Die Gleichung x \vec{x} ·n \vec{n} =a \vec{a} ·n \vec{n}  lässt sich für x \vec{x} =(xyz) \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} und n \vec{n} =(n1n2n3) \begin{pmatrix} n_1\\n_2\\n_3 \end{pmatrix}   umwandeln in die sogenannte „Koordinatenform“ durch skalares Ausmultiplizieren mit n \vec{n} . Dann lautet die Koordinatenform:

 n1x+n2y+n3z=a1n1+a2n2+a3n3.

Dies ist eine Gleichung mit 3 Variablen x, y und z, von denen man – auf der Suche nach einem Punkt – zwei frei wählen kann, um die dritte zu bestimmen.

geschlossen: Wissensartikel
von Roland
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