1. Das Vektorprodukt
Neben dem Skalarprodukt b ·a , das eine Zahl ist, gibt es das Vektorprodukt b ×a, das ein Vektor ist, der sowohl auf a als auch auf b senkrecht steht und dessen Länge gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms ist, das von a und b aufgespannt wird. Ein Vektor c , der sowohl zu a als auch zu b senkrecht und für eine geeignete reelle Zahl k gleich k∙(a ×b ) ist, lässt sich auch mit Hilfe des Skalarproduktes finden. Dazu macht man den Ansatz c =⎝⎛xyz⎠⎞ und setzt eine der drei Unbekannten x, y oder z willkürlich fest. Die anderen beiden erhält man dann über a ·c =0 und b ·c =0.
Das Vektorprodukt der Vektoren ⎝⎛abc⎠⎞ und ⎝⎛def⎠⎞ ist definiert durch ⎝⎛abc⎠⎞×⎝⎛def⎠⎞=⎝⎛bf−cecd−afae−bd⎠⎞
2. Die Parameter-Form
Drei verschiedene Punkte A, B und C im Raum, die nicht auf einer Geraden liegen, legen genau eine Ebene e fest. Zu einem beliebigen Punkt X der Ebene e gelangt man, ausgehend vom Ursprung O des Koordinatensystems, auf folgendem Wege: OX =OA +μ·AB+λ·AC. OA heißt „Stützvektor“, AB und AC heißen „Richtungsvektoren“ der Ebene e. Die gesamte Gleichung heißt „Parameterform“ der Gleichung von e. μ und λ sind darin die Parameter. Für A(a1|a2|a3) B(b1|b2|b3) und C(c1|c2|c3) ist OA= ⎝⎛a1a2a3⎠⎞ , AB= ⎝⎛b1−a1b2−a2b3−a3⎠⎞ und AC =⎝⎛c1−a1c2−a2c3−a3⎠⎞.
Für X(x|y|z) ist OX=⎝⎛xyz⎠⎞ und die Ebenengleichung heißt
⎝⎛xyz⎠⎞ =⎝⎛a1a2a3⎠⎞+μ·⎝⎛b1−a1b2−a2b3−a3⎠⎞+λ·⎝⎛c1−a1c2−a2c3−a3⎠⎞.
3. Umwandung der Koordinatenform in die Normalenform
Das Durchmultiplizieren der Ebenengleichung x=a +μ·u + λ·v mit dem zu u und v senkrechten Vektor n führt zur Gleichung x·n=a ·n , welche die gleiche Ebene beschreibt. Der Vektor n heißt „Normale“ der Ebene und die Gleichung heißt Normalenform der Ebenengleichung. Der Stützvektor a bleibt in dieser Form sichtbar. Nach der Skalarmultiplikation auf der rechten Seite der Gleichung, steht dort eine Zahl.
Will man die Normalenform einer Ebenengleichung von e in die Parameterform der Ebenengleichung von e umwandeln, sucht man zunächst drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte A(a1|a2|a3) B(b1|b2|b3) und C(c1|c2|c3), die in e liegen, und setzt diese in ⎝⎛xyz⎠⎞ =⎝⎛a1a2a3⎠⎞+μ·⎝⎛b1−a1b2−a2b3−a3⎠⎞+λ·⎝⎛c1−a1c2−a2c3−a3⎠⎞ ein.
Die Gleichung x·n=a ·n lässt sich für x=⎝⎛xyz⎠⎞ und n =⎝⎛n1n2n3⎠⎞ umwandeln in die sogenannte „Koordinatenform“ durch skalares Ausmultiplizieren mit n . Dann lautet die Koordinatenform:
n1x+n2y+n3z=a1n1+a2n2+a3n3.
Dies ist eine Gleichung mit 3 Variablen x, y und z, von denen man – auf der Suche nach einem Punkt – zwei frei wählen kann, um die dritte zu bestimmen.