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Aufgabe:

Grenzwert mit Hilfe von l'hospital berechnen:

\( \lim \limits_{x \to 0} (\frac{1}{sinx}-\frac{1}{x})^{x} \) 


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz für die Lösung wäre:

\( \lim\limits_{x \to 0} \) \( e^(xln({(\frac{1}{sinx})-\frac{1}{x})  } \)

Hier könnte ich doch direkt für x 0 einsetzen und bekomme e^0, also 1 heraus, was auch die Lösung ist.

Ich hätte aber nicht l´hospital angewendet. Darf ich das überhaupt so machen, mit l´hospital weiter zu machen bringt mich zu keinem Ergebnis.

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Die Intention des Aufgabenstellers war möglicherweise, die Differenz \(\frac{1}{sin(x)}-\frac{1}{x}\) in einen Quotienten  \(\frac{x-sin(x)}{x\cdot sin(x)}\) umzuwandeln, welcher die ungesunde Form "0/0" annimmt und deshalb unverzüglich ins Hospital geschickt werden muss.

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64313697_1541523995983378_4638096919086759936_n.jpgVielen Dank für die Antwort!

Meine Lösung sieht so aus, das sollte korrekt sein, oder?

So einfach ist die Geschichte nicht. Der Term 00 ist unbestimmt. Es kommt wirklich darauf an, ob Basis und Exponent "gleich schnell" gegen 0 gehen oder nicht.

Der Grenzwert von xx für x gegen 0 ist tatsächlich 1.

Lässt man jedoch bei konstanter Basis 0 die Potenz 0x berechnen, so ist die für alle positiven  x≠0 garantiert 0, und es ist nicht einzusehen, dass  0x für x=0 plötzlich auf den Wert 1 springen sollte.

Danke nochmal für die ausführliche Antwort ! 

Mit der kleinen Anpassung sollte es klappen, hoffe ich :)

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Mit freundlichen Grüßen

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