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Aufgabe:

$$ \lim\limits_{x\to 1} \left(\dfrac{1}{\ln(x)}+\dfrac{1}{x-1}\right) $$


Problem/Ansatz:

Ich soll davon den Grenzwert berechnen.

Ich nehme mal an, dass weil das 1/0 ist, mit L'Hospital angewendet werden muss

von

Fasse zunächst die Brüche zusammen.

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Du kannst die Summe der Grenzwerte nur in 2 einzelne Grenzwerte aufteilen, wenn du sicher weißt, dass beide Grenzwerte für sich existieren. Daher musst du hier zur Vorbereitung der Anwendung der Regel von L'Hospital beide Summanden zu einem Bruch zusammenfassen:

$$L=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{x-1}\right)=\lim\limits_{x\to1}\frac{x-1+\ln x}{(x-1)\ln x}$$Wir stellen fest, dass Zähler und Nenner jeweils \(0\) ergeben wenn wir \(x=1\) einsetzen. Also dürfen wir die Regel von L'Hospital verwenden:$$L=\lim\limits_{x\to1}\frac{1+\frac{1}{x}}{\ln x+(x-1)\cdot\frac{1}{x}}$$

Jetzt erkennt man, wie pathologisch der Grenzwert tatsächlich ist. Der Zähler geht gegen \(2\), aber der Nenner geht von unten her gegen \(0\), falls \(x\nearrow1\) und von oben her gegen \(0\), falls \(x\searrow1\). Das heißt:$$L=\left\{\begin{array}{l}-\infty &\text{für}& x\nearrow1\\+\infty &\text{für}& x\searrow1\end{array}\right.$$Die Funktion divergiert daher für \(x\to1\).

von 128 k 🚀

Danke für deine Mühe!

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Hallo,

Du bekommst hier: ∞ - ∞ und mußt den Hauptnenner bilden.

Leite danach mit L'Hospital ab.

von 117 k 🚀

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