Aufgabe:
Gegeben Sei das folgende lineare Gleichungssystem
⎝⎛0,5251,14,50,963,10,366,5⎠⎞ * \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix} = ⎝⎛60,020,96⎠⎞
Berechne die Lösung durch LR-Zerlegung unter Angabe aller Zwischenschritte. Verwende dabei nur dezimale Gleitkommazahlen mit der Mantissenlänge M= 3. Du musst also nach jeder Operation durch korrektes Runden auf 3 Mantissenziffern runden.Vergleichen die die Ergebnisse der LR-Zerlegung mit der exakten Lösung per Gauß-Verfahren).Hinweis: Du musst “auf 3 Mantissenziffern runden”, dies bedeutet: Du stellst Zahl als Dezimalzahlbruch der Form(0, d−1d−2d−3d−4. . .)·10k mit d−1 ≠ 0 dar. Dann rundest du die Ziffer d−3 der Mantisse anhand des Wertes von d−4. Zum Beispiel ist rd(0,00123567) = rd(0,123567·10−3)
rd(6,5) =rd(0,6500·101)= 0,00124= 6,50
Interessanterweise ist rd(9,999) =rd(0,9999·101) = 10,
Problem/Ansatz:
LR-Zerlegung
⎝⎛0,5251,14,50,963,10,366,5⎠⎞
Jetzt substrahiere ich 4 mal die 1. Zeile von der. 2 Zeile
⎝⎛0,5051,10,10,963,1−12,046,5⎠⎞
Danach wird gerundet
rd (-12,04) = rd (0,1204 * 10²)
= - 12
=> neue Matrix
⎝⎛0,5051,10,10,963,1−126,5⎠⎞
Jetzt substrahiere ich 10 mal die 1. Zeile von der 3. Zeile
⎝⎛0,5001,10,1−10.043,1−12−24,5⎠⎞
Dann pass ich die Rundungen wieder den Vorschriften des Profs an:
rd (-10,04) = rd (-0,1004 * 10²)
= - 10
rd (-24,5) = rd (-0,245* 10 ²)
= -24,5
Die an die Rundungen angepasste Matrix ist dann
⎝⎛0,5001,10,1−103,1−12−24,5⎠⎞
Jetzt addiere ich 100 mal die 2. Zeile zu der 3. Zeile
⎝⎛0,5001,10,103,1−12−1224,5⎠⎞
Da mich die Aufgabenstellung zwingt, auf das 3. Bit nach der Mantisse zu runden, mach ich jetzt wieder
rd (-1224,5) = rd (0,12245 * 104 )
= -122
Daraus ergibt sich dann folgende Matrix
⎝⎛0,5001,10,103,1−12−122⎠⎞
Und mittels LR-Zerlegung wäre der ganze Spaß dann
⎝⎛1−4−1001−100001⎠⎞
Und das kann nicht sein, weil das passt nicht mehr zum Linearen Gleichungsystem. Wenn man das LGS mit Gauß-Verfahren löst, kommt da was ganz anderes raus.