Aufgabe:
Sei B ∈ Mm,n(R). Zeigen Sie, dass es eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix A ∈ Mn(R) gibt mit A2 = B⊤B.
Problem/Ansatz:
Bekannt ist ja: Für symmetrische Matrizen ist S-1AS eine Diagonalmatrix. B⊤B ist auch eine symmetrische Matrix, kann also auch zu einer Diagonalmatrix konjugiert werden.
Die Frage ist, ob diese beiden Diagonalmatrizen eindeutig sind oder von der Wahl von S abhängen? Wenn es mehrere Möglichkeiten gäbe, wäre die Gleichheit ja schon mit einer geeigneten Wahl von S gezeigt.
Oder zielt der Ansatz völlig daneben?
