Gleichheit von Rang zeigen

Question

Es sei K ein Körper, m,n ∈ ℕ und

A ∈ GL_m(K)

B∈ K^mxn und C ∈ GL_n(K).

Zeigen Sie dass gilt

rk(AB) = rk(BC)= rk(B)

Hat jemand hierzu eine Idee wie man die Gleichheiten zeigen kann? Ich verstehe das leider gar nicht.

Vielen Dank!

Answer 1

Moin,

siehe z.B  https://math.stackexchange.com/questions/1788684/prove-mathrmrankbac-mathrmrankba-mathrmrankac-mathrmranka

Zusammenfassung:

betrachte die zu A, B und C assoziierten linearen Abbildungen ( hier a,b und c genannt) und nutze das A und C invertierbar sind, dh. dass die zugehörigen linearen Abb. a und c Isomorphismen ( insbesondere bijektiv ) sind. Dann gilt:

rk(AB)=rk(a ° b)=dim(a(b(K^n))=dim(b(K^n)), weil a bijektiv ist. Dies ist per Definition der Rang von B also rk(AB)=rk(B)

rk(BC)=rk(B) geht analog

Viel Erfolg bei der Klausur am Donnerstag ;)