Biquadratische Gleichung mit Bruch 3x^2 + 6/x^2 = 9

Question

Aufgabe:

3x^2 + 6/x^2 = 9

Problem/Ansatz:

Die Lösung ist mir hier nicht so wichtig, ich würde gerne wissen, wie ich hier nach Null auflösen muss, speziell wegen dem Bruch.

Answer 1

Erweitern der Gleichung mit x^2/3 liefert $$\left(x^2\right)^2+2=3x^2$$was äquivalent ist zu$$\left(x^2\right)^2-3x^2+2=0$$ und weiter zu$$\left(x^2-1\right)\cdot \left(x^2-2\right)=0.$$ Spätestens damit sind die Lösungen bereits ablesbar.

Comments

Das ist eine "Protzlösung".

Diese Faktorisierung macht in der Regel jemand, der die Lösung schon kennt.

Mit

Spätestens damit sind die Lösungen bereits ablesbar.

suggeriert man dem Fragesteller (der die Lösungen noch nicht kennt), dass man es ja "einfach" nur so machen muss. Wer die Lösung aber nicht kennt, wird kaum in der Lage sein, so zu faktorisieren.

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Hm... interessanter Einwand. Jetzt, wo ich so drüber nachdenke, hätte ich die Lösungen tatsächlich von Anfang an kennen können. Ich habe die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung über \(x^2\) (zweite Zeile) "gesehen" und dann die Gleichung nach dem Satz von Viéta faktorisiert, um an die Lösungen der ursprünglichen Gleichung zu gelangen.

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Schön, dass es hier noch Leute gibt, die auf kritische Stimmen nicht mit Abwehrtags oder (in "höherer" Position) mit Beitragslöschung reagieren.

Answer 2

du könntest beide Seiten der Gleichung mit x² multiplizieren:

$$3x^2+\frac{6}{x^2}=9\\ 3x^4+6=9x^2\\3x^4-9x^2+6=0$$

Dann ersetzt du x² durch y:

$$3y^2-9y+6=0$$

Nachdem du auf beiden Seiten durch 3 geteilt hast, kannst du die pq-Formel anwenden und anschließend deine Ergebnisse = x² setzen und die Wurzeln ziehen.

Gruß, Silvia

Comments

Trotz deiner unfreundlichen Reaktion neulich: Ich schätze an deinen überlegten Antworten, dass du dich hier nicht in die Gilde der permanenten Lösungsvorsager einreihst.

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abakus, ich hatte neulich nicht verstanden, dass die "Sabotage" nicht auf mich bezogen war. Auf die Idee, dass wir beide einmal einer Meinung sind, bin ich nicht gekommen. Daher muss und möchte ich mich hiermit für meine Reaktion entschuldigen. Aber nichtsdestotrotz fände ich es angenehmer, wenn du deine Antworten und Kommentare etwas  freundlicher formulieren würdest.

Die Diskussion über die Art der Antworten hatte ich zu Beginn meines Mathelounge-Einsatzes auch mit einigen geführt. Offenbar besteht aber hierüber kein Konsens. Ich persönlich finde es - genau wie du - besser, wenn den Fragestellern/-innen nicht alles vorgekaut wird, was mich besonders dann ärgert, wenn zum gleichen Thema/Aufgabentyp trotz ausführlicher Antworten mehrere Fragen gestellt werden.