Es sei V ein komplexer Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung mit der Abbildungsmatrix A...

Question

Aufgabe:

Es sei V ein komplexer Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung mit der Abbildungsmatrix A bezüglich einer Basis (v₁,...,v_n).

(a) Zeigen Sie, dass (v₁,...,v_n,iv₁,...,iv_n) eine Basis von V als reeller Vektorraum ist.

(b) Zeigen Sie, dass die Abbildungsmatrix von f als reell-lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch B =$\begin{pmatrix}ReA & -ImA \\ ImA & ReA \end{pmatrix}$ gegeben ist, wobei Im hier den Imaginärteil bezeichnet.

(c) Bringen Sie diese Matrix mit Hilfe von Zeilen- und Spaltenoperationen in die Form $\left( \begin{array} { l l } { A } & { 0 _ { n } } \\ { ? } & { \overline { A } } \end{array} \right)$ oder $\left( \begin{array} { l l } { A } & { ? } \\ { 0 _ { n } } & { \overline { A } } \end{array} \right)$ und drücken Sie det B durch det A aus.

Answer 1

In $\mathcal{B}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}$ liegen halb soviele Vektoren wie in $\mathcal{C}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}, i \cdot v_{1}, \ldots, i \cdot v_{n}\right\}$
Die Skalare kommen jetzt aber auch nur noch aus $\mathbb{R}$, daher brauchen wir die auch alle.
Sei jetzt $v \in V$.

Die Skalare (i) sind imaginäre Einheiten, die sind aus C.

$v \in V$ besitzt eine Darstellung $v=\lambda_{1} \cdot v_{1}+\cdots+\lambda_{n} \cdot v_{n}$ wobei $\lambda_{j} \in \mathbb{C}$. Dann gibt es also $a_{j}, b_{j} \in \mathbb{R}$, sodass $\lambda_{j}=a_{j}+i \cdot b_{j}$.

Zur Basis $\mathcal{C}$: Durch die Zerlegung von Real- und Imaginärteil der Koeffizienten lambda_{j} aus C entsteht ja dann gerade die Darstellung des Vektors v über die Vektoren v_1,...,v_n, iv_1,...,iv_n

Die Abbildungsmatrix für die Basis $B$ ist ja $A=M_{B}^{B}(f)$ Wenn $A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ ist, dann gilt $a_{i j} \in \mathbb{C}$, also wieder $a_{i j}=\lambda_{i j}+i \cdot \mu_{i j}$

Du musst dir jetzt nur ansehen, wohin die Basisvektoren abgebildet werden.

Wir wissen: $f\left(v_{j}\right)=\sum \limits_{l=1}^{n} a_{l j} \cdot v_{j}$ wegen $A$

Wenn $A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ ist, dann gilt $a_{i j} \in \mathbb{C}$, also wieder $a_{i j}=\lambda_{i j}+i \cdot \mu_{i j}$

Also weiter $f\left(v_{j}\right)=\sum \limits_{l=1}^{n}\left(\lambda_{l j}+i \cdot \mu_{l j}\right) \cdot v_{j}=\sum \limits_{l=1}^{n} \lambda_{l j} \cdot v_{j}+i \cdot \sum \limits_{l=1}^{n} \mu_{l j} \cdot v_{j}=\sum \limits_{l=1}^{n} \operatorname{Re}\left(a_{l j}\right) \cdot v_{j}+i \cdot \sum \limits_{l=1}^{n} \operatorname{Im}\left(a_{l j}\right) \cdot v_{j}$

Das ist nämlich die Matrix $B$ wo der hintere $2 n \times n$ -Block abgeschnitten ist; den erhältst du, indem du dir die Bilder von $i \cdot v_{j}$ ansiehst.

Die Matrix B besteht dann nur aus reellen Einträgen, da ich ja nur Real- und Imaginäranteile der komplexen Einträge von a_ij betrachte.

Du hast $B=\left(\begin{array}{cc}\operatorname{Re}(A) & -\operatorname{Im}(A) \\ \operatorname{Im}(A) & \operatorname{Re}(A)\end{array}\right)$, du könntest etwa eine geeignete Darstellung für $\operatorname{Re}$ und Im wählen und

$B=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(A+\bar{A}) & -\frac{1}{2 i}(A-\bar{A}) \\ \frac{1}{2 i}(A-\bar{A}) & \frac{1}{2}(A+\bar{A})\end{array}\right)$ erhalten.

Du kannst einfach in der Form $B=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(A+\bar{A}) & -\frac{1}{2 i}(A-\bar{A}) \\ \frac{1}{2 i}(A-\bar{A}) & \frac{1}{2}(A+\bar{A})\end{array}\right)$ fortfahren.

Erstmal erkennst du, das überall ein $\frac{1}{2}$ auftaucht, dann kannst du $\frac{1}{i}=-i$ benutzen.
Welche Eigenschaften hat nun die Determinante?

Multiplikation mit 2 und ausnutzen der Identität $-\mathrm{i}=1 / \mathrm{i}$ liefert die Form

$\left(\begin{array}{cc}A+A^{*} & i\left(A-A^{*}\right) \\ -i\left(A-A^{*}\right) & A+A^{*}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}A+A^{*} & i\left(A-A^{*}\right) \\ -i\left(A-A^{*}\right) & A+A^{*}\end{array}\right)$ hat jetzt natürlich eine (um eine Konstante) andere Determinante als $B$

Du kannst jetzt aber einfach das $i$ -fache der ersten $n$ -Zeilen auf die zweiten $n$ -Zeilen addieren.

Die Konstante ist 2.

Wenn du das i-fache der ersten n Zeilen auf die zweiten $\mathrm{n}$ Zeilen addierst, dann ergibt sich:

$\left(\begin{array}{cc}A+A^{*} & i\left(A-A^{*}\right) \\ 2 i A^{*} & 2 A^{*}\end{array}\right)$

Multilplikation mit - i in den ersten n Spalten und anschließende Subtraktion der letzten n Spalten von den ersten n Spalten liefert dann die Form:

$\left(\begin{array}{cc}-2 i A & i\left(A-A^{*}\right) \\ 0 & 2 A^{*}\end{array}\right)$