In B={v1,…,vn} liegen halb soviele Vektoren wie in C={v1,…,vn,i⋅v1,…,i⋅vn}
Die Skalare kommen jetzt aber auch nur noch aus R, daher brauchen wir die auch alle.
Sei jetzt v∈V.
Die Skalare (i) sind imaginäre Einheiten, die sind aus C.
v∈V besitzt eine Darstellung v=λ1⋅v1+⋯+λn⋅vn wobei λj∈C. Dann gibt es also aj,bj∈R, sodass λj=aj+i⋅bj.
Zur Basis C: Durch die Zerlegung von Real- und Imaginärteil der Koeffizienten lambda_{j} aus C entsteht ja dann gerade die Darstellung des Vektors v über die Vektoren v_1,...,v_n, iv_1,...,iv_n
Die Abbildungsmatrix für die Basis B ist ja A=MBB(f) Wenn A=(aij)1≤i,j≤n ist, dann gilt aij∈C, also wieder aij=λij+i⋅μij
Du musst dir jetzt nur ansehen, wohin die Basisvektoren abgebildet werden.
Wir wissen: f(vj)=l=1∑nalj⋅vj wegen A
Wenn A=(aij)1≤i,j≤n ist, dann gilt aij∈C, also wieder aij=λij+i⋅μij
Also weiter f(vj)=l=1∑n(λlj+i⋅μlj)⋅vj=l=1∑nλlj⋅vj+i⋅l=1∑nμlj⋅vj=l=1∑nRe(alj)⋅vj+i⋅l=1∑nIm(alj)⋅vj
Das ist nämlich die Matrix B wo der hintere 2n×n -Block abgeschnitten ist; den erhältst du, indem du dir die Bilder von i⋅vj ansiehst.
Die Matrix B besteht dann nur aus reellen Einträgen, da ich ja nur Real- und Imaginäranteile der komplexen Einträge von a_ij betrachte.
Du hast B=(Re(A)Im(A)−Im(A)Re(A)), du könntest etwa eine geeignete Darstellung für Re und Im wählen und
B=(21(A+Aˉ)2i1(A−Aˉ)−2i1(A−Aˉ)21(A+Aˉ)) erhalten.
Du kannst einfach in der Form B=(21(A+Aˉ)2i1(A−Aˉ)−2i1(A−Aˉ)21(A+Aˉ)) fortfahren.
Erstmal erkennst du, das überall ein 21 auftaucht, dann kannst du i1=−i benutzen.
Welche Eigenschaften hat nun die Determinante?
Multiplikation mit 2 und ausnutzen der Identität −i=1/i liefert die Form
(A+A∗−i(A−A∗)i(A−A∗)A+A∗)
(A+A∗−i(A−A∗)i(A−A∗)A+A∗) hat jetzt natürlich eine (um eine Konstante) andere Determinante als B
Du kannst jetzt aber einfach das i -fache der ersten n -Zeilen auf die zweiten n -Zeilen addieren.
Die Konstante ist 2.
Wenn du das i-fache der ersten n Zeilen auf die zweiten n Zeilen addierst, dann ergibt sich:
(A+A∗2iA∗i(A−A∗)2A∗)
Multilplikation mit - i in den ersten n Spalten und anschließende Subtraktion der letzten n Spalten von den ersten n Spalten liefert dann die Form:
(−2iA0i(A−A∗)2A∗)