Mittelwertsatz: Ungleichung

Question

ich soll folgende Ungleichung mit dem Mittelwertsatz lösen

|x^3 − 2x^2 + x − (y^3 − 2y^2 + y)| ≤ 21 * |x−y| für x,y∈ [−2,3]

Wie der Mittelwertsatz funktioniert ist mir soweit klar, jedoch weiß ich nicht so ganz, wie ich ihn in dem Fall anwenden muss.

Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

die Ableitung der Funktion

f: [-2,3] -> R

x->x^3-2x^2+x

ist beschränkt und wird maximal 21 für x=-2

Das ganze musst du mit dem Mittelwertsatz aufschreiben, damit folgt die Ungleichung.

Comments

Vielen Dank.

Das verstehe ich so weit, mir ist nur nicht ganz klar, wie ich das formal mit dem MWS aufschreibe.

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Betrachte zwei Stellen x,y element (-2,3) (ohne Beschränkung der Allgemeinheit y>x). Dann gibt es laut MWS ein x_0 element (x,y) sodass

21>=f'(x_0)=(f(x)-f(y))/(x-y)

Multiplikation mit (x-y) liefert die gewünschte Aussage. Durch den Betrag bekommst du auch den Fall x>y abgedeckelt.

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Danke dir. Hab’s hinbekommen