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Problem/Ansatz:

Also mein Ansatz wäre es um die Steigung zu erhalten ist g(x,y) nach gX und gY abzuleiten und 
dann x0 und y0 einzusetzen, umso auf den ersten Vektor zu kommen.

Ich habe nur keine Ahnung wie ich dann weiter vorgehe und woher diese 1 / wurzel(5) kommen.

Vielen Dank im Voraus.
Mfg

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Hallo

 der Einheitsvektor in b Richtung , eb ist b/√5 die Steigung in b Richtung ist (gx,gy)*eb

Gruß lul

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Das verstehe ich nicht :(

Hallo

 was verstehst du nicht? wie man einen Einheitsvektor aus b macht, oder wie man aus dem grad der Funktion die Steigung in einer Richtung bestimmt? Dann lies mal über Richtungsableitungen nach.

lul

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Aloha :)

Du hast die Funktion \(g(x,y)=x^2y^2+10y\) gegeben. An der Stelle \((1,1)\) ist die Ableitung von \(g\) in Richtung von \(\vec b=\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)\) gesucht. Du benötigst für die Richtungsabletung den Gradient von \(g(x,y)\) und den Einheitsvektor von \(\vec b\). Es ist bei der Richtungsableitung immer wichtig, den Vektor, der die Richtung angibt, zu normieren, sonst ist das Ergebnis nicht eindeutig:

$$\text{grad}\,g(x,y)=\left(\begin{array}{c}2xy^2\\2x^2y+10\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\text{grad}\,g(1,1)=\left(\begin{array}{c}2\\12\end{array}\right)$$$$\vec b^0=\frac{1}{\left\Vert\vec b\right\Vert}\,\vec b=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}}\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt 5}\,\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$$Die Richtungsableitung ist also:

$$=\frac{1}{\sqrt 5}\cdot\left(\begin{array}{c}2\\12\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)=\frac{26}{\sqrt 5}$$

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f(x, y) = x^2·y^2 + 10·y

Gradient

f'(x, y) = [2·x·y^2, 2·x^2·y + 10]

f'(1, 1) = [2·1·1^2, 2·1^2·1 + 10] = [2, 12]

Richtungsvektor auf die Länge 1 normieren

[1, 2] / |[1, 2]| = [1, 2] / √(1^2 + 2^2) = [1, 2] / √5

Richtungsableitung

[2, 12] * [1, 2] / √5 = (2 + 24) / √5 = 26 / √5

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