p>0 Matrix Inventierbarkeit und Diagonalisierbarkeit

Question

Aufgabe:

2. Für welche Primzahlen  p > 0 ist die Matrix
A= \( \begin{pmatrix} 3& 1& 0 \\ 6 & 8 & 1\\ -10 & -10 & 2    \end{pmatrix} \) ∈ Mat3(Fp)

invertierbar? Wann ist sie diagonalisierbar?

Problem/Ansatz:

Also ich habe schon die Determinante ausgerechnet Det(A)= 56 
diagonalisiert habe ich auch schon

\( \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 2  \end{pmatrix} \)

aber das mit der Primzahl p>0 verstehe ich nicht so ganz. Kann mir jemand bitte helfen ?

Comments

... diagonalisiert habe ich auch schon $$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 2  \end{pmatrix}$$

ich habe:$$\begin{pmatrix}3& 1& 0\\ 6& 8& 1\\ -10& -10& 2\end{pmatrix}\\ \space = \begin{pmatrix}-1& -1& -1\\ 1& -1& -4\\ 0& 10& 10\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 7\end{pmatrix} \cdot \frac 1{30}\begin{pmatrix}-30& 0& -3\\ 10& 10& 5\\ -10& -10& -2\end{pmatrix}$$

... aber das mit der Primzahl p>0 verstehe ich nicht so ganz.

Sind Dir endliche Körper eine Begriff? Falls ja, so versuche es mal mit \(\mathbb{F}_7\)

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vielen dank :)