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Aufgabe:

Untersuchen ob eine Matrix diagonalisierbar und tridiagonalisierbar ist.

$$A= \begin{pmatrix} 0 & 10 & 2 \\ \lambda & 2 & 1\\ 0 & -3 & 0 \\ \end{pmatrix}$$


Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich alle lambdas, welche die Diagonaliserung und die Tridigonalisierung ermöglichen?

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Wie lautet denn das charakteristische Polynom?

Ich komme da auf $$-t^3+2t^2+(10*\lambda-3)t-6*\lambda$$

Das ist richtig und über welchem Körper wird die Matrix betrachtet?

Mat_3(R). aber wie berechne ich die eigenwerte, wenn ich 2 Variablen habe?

Ok, das erste was man also überprüfen sollte ist, ob das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

$$ \chi_A = t^3 -2t^2+(3-10\lambda)t + 6\lambda $$

Es gibt jetzt 2 Fälle:

Das char. Pol. hat nur eine reelle Nullstelle oder drei (diese müssen aber nicht p.w. verschieden sein!)

Ein gängiger Schritt ist das Polynom erst einmal durch Substitution auf Normalform zu bringen:

$$ t = s + \frac{2}{3} $$

dann erhältst du

$$ \chi_A = s^3 + \underbrace{\left( \frac{5}{3} - 10\lambda\right)}_{=:p}s + \underbrace{\left(\frac{38-18\lambda}{27}\right)}_{=:q} $$

das Polynom hat dieselbe Anzahl reeller Nullstellen. Ähnlich wie bei den quadratischen Polynomen kann man auch bei kubischen Polynomen eine Diskriminante betrachten. Für die Normalform \( s^3+ps+q \) ist diese

$$ \Delta = -4 p^3 - 27q^2  = 4000\lambda^3 - 2012\lambda^2 + 384\lambda - 72$$

Es gilt jetzt: Alle Nullstellen sind reell \( \iff \) \(\Delta \ge 0 \)

Man sollte also die Diskriminante etwas genauer studieren:

$$ \frac{\textrm d}{\textrm d \lambda} \Delta = 12000\lambda^2 - 4024 \lambda + 348 \ge 0 $$

Also ist die Determinante monoton steigend und hat folglich entweder eine einfache oder eine dreifache reelle Nullstelle.

Die Nullstelle ist \( \lambda = \frac{3}{8} \).

Also falls \( \lambda < \frac{3}{8} \) ist \( \Delta < 0 \) es gibt also komplexe Nullstellen und das charakteristische Polynom zerfällt über \( \mathbb R \) nicht in Linearfaktoren => Weder diagonal- noch trigonalisierbar.

Falls \( \lambda > \frac{3}{8} \) ist \( \Delta > 0 \) das heißt es gibt sogar 3 p.w. verschieden reelle Nullstellen (siehe Definition der Diskriminante, da ist relativ ersichtlich, dass diese nur =0 sein kann falls eine Nullstelle mehrfach auftritt). Das ist ein wohlbekanntes Kriterium für Diagonalisierbarkeit, was auch direkt Trigonalisierbarkeit impliziert.

Falls \( \lambda = \frac{3}{8} \) zerfällt das charakteristische Polynom auch in Linearfaktoren, also ist die Matrix trigonalisierbar. Diagonalisierbarkeit muss man jetzt aber nochmal händisch nachprüfen (Vergleiche algebraische mit geometrischen Vielfachheiten für alle Eigenwerte)

Ich habe jetzt eine weitere ähnlich Aufgabe, wobei das charakteristische Polynom (-6-t)(λ-t)(2-t) bzw. -t^3+(λ-1)t^2+(λ+6)t-6λ. Mir ist dabei aufgefallen, dass ich Probleme habe die kubische Funktion, mit hilfe der Substitution auf Normalform zu bringen. Wie komme ich auf den Term den ich substituieren muss?

Was willst Du Substituieren, wenn Du schon Linearfaktoren hast?

Um die Diskriminante zu untersuchen? Oder wie sehe ich sonst, obs komplett zerfällt oder nicht?

> das charakteristische Polynom (-6-t)(λ-t)(2-t)<

steht doch schon als Linearfaktoren-Zerlegung zur Verfügung, oder versteh ich was flasch?

Ich dachte ich muss die Diskriminante untersuchen um zu untersuchen, wann das Polynom in R ganz zerfällt und wann nicht. Oder geht das anders\einfacher wenn ich die Linearfaktor-Zerlegung habe?

Was verstehst Du unter

>Polynom in R ganz zerfällt<

wenn nicht die Liniearfaktor-Zerlegung?

Zum Beispiel x^2+1. Da wäre die Linearfaktor-Zerlegung (x-i)(x+i) und In ℝ könnte man das nicht in Linearfaktorenzerlegen. Also wenn ein Polynom in R zerfällt dann kann ich jede Nullstelle herausheben, ohne dass komplexe Zahlen entstehen. Wie würdest du sonst das Polynom untersuchen und lambda bestimmen?

(-6-t)(λ-t)(2-t)

Die Nullstellen des Polynoms sind -6, 2 und λ, insb. zerfällt es in Linearfaktoren. Mehr muss man da gar nicht machen.

Die Matrix ist also immer trigonalisierbar und falls λ ungleich -6 und -2 auch immer diagonalisierbar (da p.w. verschiedene Linearfaktoren).

Die Diagonalisierbarkeit in den Fälle λ=-6 bzw. λ=2 muss man wieder über die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte prüfen.

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