Funktionenschar - Scheitelpunkt bestimmen

Question

Aufgabe: Wir betrachten die Funktionenschar f_a mit f_a(x) = x²+2ax+a²+a und a∈R

Bestimme die Lage des Scheitels der Parabel G_a in Abhängigkeit von a. Auf welcher Linie liegen alle Scheitel der Parabelschar?

Problem/Ansatz:

Meine Idee wäre, dass man die Funktion ableitet. So bin ich vorgegangen:
2x + 2a + 2a

=2x + 4a

Dann mit 0 gleichsetzen

2x + 4a = 0 I-2x

4a = -2x I:(-2)

-2a = x

Stimmt das soweit? Wie würde man danach weitermachen?

Answer 1

Aloha :)

Deine Ableitung ist falsch, wäre sie richtig, würde dein Weg zum Ziel führen. Die brauchst die Ableitung aber auch gar nicht, denn:$$f_a(x)=x^2+2ax+a^2+a=(x+a)^2+a$$Der Scheitel liegt immer dort, wo der quadratische Term verschwindet, er hat also die Koordinate \(S(-a|a)\). Der Scheitel liegt also auf der Geraden \(y=-x\).

Answer 2

fa (x) = x^2+2ax + a^2+a
richtig nach x abgelitten
f ´( x ) = 2x + 2a

Scheitelpunkt
2x + 2a = 0
x = -a
Einsetzen für die y-Koordinate
f ( -a ) = (-a)^2 + 2a * (-a) + a^2 + a
f ( -a ) = a^2 - 2a^2 + a^2 + a
f ( -a ) = a
S ( -a | a )

Ortskurve
x = -a 
y = a

x = -a  => a = -x
Einsetzen
y = -x
Ort ( x ) = -x