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Aufgabe

Wie bilde ich bei f(x)= 3/(7x-1) und f(x)= (2x^3-5)/x^2 die Stammfunktion?

Problem/Ansatz:

von

2 Antworten

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Aloha :)

Es gibt einen sehr hilfreichen Trick, den man verblüffend oft anwenden kann. Wenn im Zähler die Ableitung vom Nenner steht, kannst du das Integral sofort hinschreiben:

$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\left|\,f(x)\,\right|+\mbox{const}$$Das kannst du leicht überprüfen, indem du die rechte Seite wieder nach \(x\) ableitest. Damit kannst du das erste Integral direkt angeben:

$$\int\frac{3}{7x-1}\,dx=\frac{3}{7}\cdot\int\frac{7}{7x-1}\,dx=\frac{3}{7}\cdot\ln\left|7x-1\right|+c$$Das andere Integral ist komplizierter:

$$\int\frac{2x^3-5}{x^2}\,dx=\int\left(2x-\frac{5}{x^2}\right)\,dx=\int\left(2x-5x^{-2}\right)\,dx=x^2+5x^{-1}+c=x^2+\frac{5}{x}+c$$

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von 93 k 🚀

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