komplexe Funktion ableiten im Punkt t=1

Question

Aufgabe: $$\int\limits_{1}^{2} \dfrac{e^{x t}}{x} dx$$  Ableitung im Punkt t=1

Problem/Ansatz: komme leider nach mehrmaligem Rechnen nicht auf die Lösung.

Nachtrag: Im Exponent steht x*t

Comments

Habe aus frac dfrac gemacht. Dennoch: Exponent nicht lesbar. dx oder dt?

 Warum komplex?

Warum ist t ein Punkt?

Warum "Ableiten" ? Sehe ein bestimmtes Integal.

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Im Exponent steht x*t und es müsste dx sein. Die Aufgabenstellung war so gegeben wieso t ein Punkt ist weiß ich nicht...

Danke

Answer 1

das ist ein eine Funktion in Abhängigkeit von t.

d/dt Integral (1 bis 2) e^xt/x DX

= Integral (1 bis 2) d/dt e^xt/x dx

=Integral (1 bis 2) e^xtdx

=[e^xt/t]( 1 bis 2)

=(e^2t-e^t)/t

Answer 2

Unter welchen Bedingungen darf man denn die Reihenfolge von Integration und Ableitung vertauschen? Hast du dazu etwas gelernt oder findest du etwas darüber?

Könnten t und x Punkte in der komplexen Zahlenebene sein?

Möglciherweise kannst du auch https://www.mathelounge.de/372297/parameterintegral-ableiten-s-von-1… und https://www.mathelounge.de/323585/bestimmtes-integral-ableiten benut….

Comments

Man soll nur ableiten. Dann glaub die 1 einsetzen. Haben nichts dazu gelernt.

Nur abgeleitet und irgendwann kam diese Aufgabe.

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D.h. das Wörtchen "komplex" hast du "erfunden" ? Dann entferne ich das aus der Überschrift.

Hast du meine beiden Links genau angeschaut?

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Diese beiden Links verstehe ich nicht, da wird Gradient gerechnet...

Answer 3

Aloha :)

Nach der Integration hängt das Integral nur noch von dem Parameter $t$ ab:$$F(t)=\int\limits_1^2\frac{e^{xt}}{x}\,dx$$und du sollst die Ableitung $F'(t)$ an der Stelle $t=1$ bestimmen. Du müsstest also theoretisch zuerst über $dx$ integrieren und anschließend nach $t$ ableiten:$$F'(t)=\frac{dF(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\int\limits_1^2\frac{e^{xt}}{x}\,dx$$Wenn jedoch der Integrand in $x$ und $t$ stetig ist und seine partielle Ableitung nach $t$ existiert und ihrerseits wieder in $x$ und $t$ stetig ist (im Integrationsbereich), darf man die Reihenfolge von Integrieren und Ableiten vertauschen (Leibniz'sche Regel). Also ist hier:$$F'(t)=\int\limits_1^2\left(\frac{\partial}{\partial t}\frac{e^{xt}}{x}\right)\,dx=\int\limits_1^2\left(\frac{x\cdot e^{xt}}{x}\right)\,dx=\int\limits_1^2e^{xt}\,dx=\left[\frac{e^{xt}}{t}\right]_{x=1}^2=\frac{e^{2t}}{t}-\frac{e^t}{t}$$Daher ist:$$F(1)=e^2-e=e(e-1)$$