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Aufgabe: $$ \int\limits_{1}^{2}  \dfrac{e^{x  t}}{x} dx $$  Ableitung im Punkt t=1


Problem/Ansatz: Hallo zusammen, komme leider nach mehrmaligem Rechnen nicht auf die Lösung.

Nachtrag: Im Exponent steht x*t

von

Habe aus frac dfrac gemacht. Dennoch: Exponent nicht lesbar. dx oder dt?

 Warum komplex?

Warum ist t ein Punkt?

Warum "Ableiten" ? Sehe ein bestimmtes Integal.

Im Exponent steht x*t und es müsste dx sein. Die Aufgabenstellung war so gegeben wieso t ein Punkt ist weiß ich nicht...

Danke

3 Antworten

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Aloha :)

Nach der Integration hängt das Integral nur noch von dem Parameter \(t\) ab:$$F(t)=\int\limits_1^2\frac{e^{xt}}{x}\,dx$$und du sollst die Ableitung \(F'(t)\) an der Stelle \(t=1\) bestimmen. Du müsstest also theoretisch zuerst über \(dx\) integrieren und anschließend nach \(t\) ableiten:$$F'(t)=\frac{dF(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\int\limits_1^2\frac{e^{xt}}{x}\,dx$$Wenn jedoch der Integrand in \(x\) und \(t\) stetig ist und seine partielle Ableitung nach \(t\) existiert und ihrerseits wieder in \(x\) und \(t\) stetig ist (im Integrationsbereich), darf man die Reihenfolge von Integrieren und Ableiten vertauschen (Leibniz'sche Regel). Also ist hier:$$F'(t)=\int\limits_1^2\left(\frac{\partial}{\partial t}\frac{e^{xt}}{x}\right)\,dx=\int\limits_1^2\left(\frac{x\cdot e^{xt}}{x}\right)\,dx=\int\limits_1^2e^{xt}\,dx=\left[\frac{e^{xt}}{t}\right]_{x=1}^2=\frac{e^{2t}}{t}-\frac{e^t}{t}$$Daher ist:$$F(1)=e^2-e=e(e-1)$$

von 7,3 k
+1 Daumen

Hallo,

das ist ein eine Funktion in Abhängigkeit von t.

d/dt Integral (1 bis 2) e^{xt}/x DX

= Integral (1 bis 2) d/dt e^{xt}/x dx

=Integral (1 bis 2) e^{xt}dx

=[e^{xt}/t]( 1 bis 2)

=(e^{2t}-e^{t})/t

von 33 k
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Unter welchen Bedingungen darf man denn die Reihenfolge von Integration und Ableitung vertauschen? Hast du dazu etwas gelernt oder findest du etwas darüber?

Könnten t und x Punkte in der komplexen Zahlenebene sein?

Möglciherweise kannst du auch https://www.mathelounge.de/372297/parameterintegral-ableiten-s-von-1-bis-u-2-4tv-t-dt und https://www.mathelounge.de/323585/bestimmtes-integral-ableiten benutzen.

von 153 k

Man soll nur ableiten. Dann glaub die 1 einsetzen. Haben nichts dazu gelernt.

Nur abgeleitet und irgendwann kam diese Aufgabe.

D.h. das Wörtchen "komplex" hast du "erfunden" ? Dann entferne ich das aus der Überschrift.

Hast du meine beiden Links genau angeschaut?

Diese beiden Links verstehe ich nicht, da wird Gradient gerechnet...

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