lokale Extrema von exp(ßx)/(1+αx)

Question

Seien α > 0 und β ∈ R beliebig. Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion
f : R\{−1/α} → R,
f(x) := exp(βx)/(1+αx).

(Ort, Wert und Art der Extrema hängen dabei natürlich von α und β ab. Eventuell sind Fallunterscheidungen nötig.)

Ich verstehe die Frage nicht genau und weiß nicht, wie ich anfangen soll

Könnten Sie bitte die Frage lösen und bisschen erklären!

Ich wäre dankbar.

Comments

Du sollst die Extremstellen in Abhängigkeit von α, β bestimmen; sprich 1. Ableitung bilden, nullsetzen etc.

Answer 1

mit a,b statt alpha beta bekomme ich

f ' (x) ) =  (  abx - a + b ) * e^(bx)  /  ( ax+1) ^2

Das ist nur gleich 0 für   abx = a-b

                    <=>     x =  (a-b) / (ab)     (  falls auch b≠0 ist )

Und f ' ' ( (a-b)/ab ) =  b^3 * e^(1-b/a) / a .

Also f ' '  ( (a-b)/ab ) >0 für b>0 . Dann ist hier ein Min.

und für b<0 ein Max.

Fehlt noch b=0 :  Da ist es  f(x) = 1 / ( ax+1) .

mit f ' (x) = -a / ( ax+1)^2 . Das ist für positives a immer negativ,

f hat also in dem Fall keine Extrema.