Ungleichung in Abhängigkeit von einer Unbekannten

Question

Aufgabe:

Sei a aus R mit a > 1. Für welche x aus R gilt: |a*x-2| <= |x+1|

Problem/Ansatz:

Betrag sieht für mich immer nach Fallunterscheidung aus. Ich fange also an mit
Fall 1: x>=2:
    |a*x-2| <= |x+1| <=> a*x-2 <= x+1

Aber schon da bin ich ratlos. Mache ich das komplett falsch? Wie kann ich auf x umformen?

Danke für jegliche Hilfe! :)

Answer 1

Hallo

deine Fallunterscheidung ist so nicht richtig: sondern 1. ax-2>0 daraus x>2/a

wegen a>1 ist damit auch x>-1, dann kannst du ax-2<x+1 und daraus x(a-1)<3 , x<3/(a-1)

insgesamt also 2/a<x<3/(a-1)

2. Fall ax-2<0 also x<2/a und x>-1 , daraus 2-ax<x+1 daraus  1<x*(a+1) also...

3. x<-1 keine Lösung

Gruß lul

Comments

Danke dir, das ergibt Sinn für mich!

Answer 2

|a*x-2| <= |x+1|
Lösung ohne Fallunterscheidung
links und rechts steht etwas Positives
Beim Quadrieren beider Seiten bleibt das
Relationszeichen bestehen
( a*x -2 ) ^2 <=  ( x + 1 ) ^2
a^2* x^2 - 4ax + 4  ≤  x ^2 + 2x + 1

x ist gesucht
a^2 * x^2 - 4ax - x^2 ≤ - 3 | / a^2
x^2 * ( a^2 - 1 ) - 4/a * x ≤ -3/a^2
x^2 - 4 / [ a * ( a^2 - 1 ) ] * x ≤ -3/ [ a^2( a^2 - 1 ) ]

Sicherlich lösbar mit
quadr.Ergänzung, pq-Formel

mfg Georg

Comments

In deiner Lösung ist ein Fehler.

Bei a2 * x2 - 4ax - x2 ≤ - 3  fehlt doch das 2x

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MatheAyeAye, danke für den Fehlerhinweis.

Nicht
a^2* x^2 - 4ax + 4  ≤  x^2 + 2x + 1
a^2 * x^2 - 4ax - x^2 ≤ - 3
sondern
a^2 * x^2 - 4ax - x^2  - 2x ≤ - 3

Ein Matheprogramm für
a^2 * x^2 - 4ax - x^2  - 2x = - 3
liefert die Nullstellen

x = 1 / ( a + 1 )
und
x = 3 / ( a - 1)

für a = 2 ergibt sich
x = 1/ 3
x = 3 / 1 = 3
machen wir einmal die Punktprobe bei
x = 1
| a*x - 2 | <= | x+1 |
| 2*1 - 2 | <= | 1+1 |
| 0 | ≤ | 2 |
0 ≤ 2 stimmt

1 / ( a + 1 ) < x < 3 / ( a - 1)