Differenzierbarkeit von f(x,y):= x^{2}g(x,y)+y^{2}h(x,y)+2x-3y in (0,0) zeigen. g und h sind beschränkt

Question

Aufgabe:

Seien g,h: ℝ²→ℝ beschränkt und sei f: ℝ2→ℝ durch

f(x,y):= x²g(x,y)+y²h(x,y)+2x-3y

definiert.

(a) Zeige, dass f in (0,0) differenzierbar ist.

Problem/Ansatz:

Was mich total verwirrt sind diese Funktionen g und h in der Funktion f.

Weiß jemand wie das geht und könnte mir zeigen, wie ich diese Aufgabe lösen kann?

 

Comments

Sorry, Denkfehler meinerseits

Answer 1

Du betrachtest einfach nur die Differenzenquotienten nach x und y. Hier beispielhaft für die Ableitung nach x:

$$f_x(0, 0) = \lim\limits_{\delta \to 0} \frac{f(\delta, 0) - f(0, 0)}{\delta} = \lim\limits_{\delta \to 0} \frac{\delta^2g(\delta, 0) + 2\delta}{\delta} = \lim\limits_{\delta \to 0} = \delta g(\delta, 0) + 2 = 2 $$

Wobei der letzte Schritt aus der Beschränktheit von g folgt, da somit ein $$a \in \mathbb{R} \text{ existiert mit } g(x, 0) \leq a \text{ für alle } x \in \mathbb{R} \Rightarrow \lim\limits_{\delta \to 0} \delta g(\delta, 0) \leq \lim\limits_{\delta \to 0} \delta a = 0$$

Die Beschränktheit ist notwendig, damit g in (0, 0) nicht schneller wächst als deine Umgebung kleiner wird. Nicht funktionieren würde es z.B. mit $$g(x, y) := \frac{1}{x^2}$$

Comments

Du betrachtest einfach nur die Differenzenquotienten nach x und y

Wusstest du, dass die Existenz der partiellen Ableitungen kein Garant für Differenzierbarkeit ist ? (Das trifft allerdings für stetige partielle Ableitungen zu.)

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Wusstest du, dass die Existenz der partiellen Ableitungen kein Garant für Differenzierbarkeit ist ? (Das trifft allerdings für stetige partielle Ableitungen zu.)

Danke für den Hinweis, man muss jetzt noch mit Hilfe der Beschränktheit noch zeigen, dass das totale Differential konvergiert.