Differenzierbarkeit und Beschränktheit

Question

Aufgabe:

Sei f : [a,∞) → R beschränkt und differenzierbar. Sei ferner

lim x→∞ f`(x) = b  b∈ R.
Zeigen Sie, dass b = 0 gelten muss

Problem/Ansatz:

habe mit der Def von differenzierbarkeit schon alles probiert komme auf kein ergebnis

Answer 1

Hier ist wichtig zu benutzen, dass $\lim_{x\to\infty}f'(x) = b$ existiert.

Nun gibt es drei Möglichkeiten: $b>0,\; b<0,\; b=0$

Annahme $b>0$:

Dann gibt es ein $c>a$, so dass $f'(x) > \frac b2>0$ für alle $x>c$. Laut Mittelwertsatz gilt dann aber $$\frac{f(x) - f(c)}{x-c} = f'(t_x) > \frac b2 \Rightarrow f(x) > \frac b2 (x-c)+f(c) \stackrel{x\to\infty}{\longrightarrow} \infty$$ Das ist ein Widerspruch dazu, dass f beschränkt ist. Also ist $b>0$ nicht möglich.

In gleicher Weise zeigst du, dass $b<0$ nicht möglich ist. (Probier's mal.)

Also bleibt nur $b=0$ übrig.