Mit Laplace-Operator zeigen, dass f harmonisch ist

Question

Aufgabe lautet:

Ist f harmonisch?

f: ℝ³→ℝ³, f(x,y,z) = e^3xy*cos(z)

Problem/Ansatz:

∇f = (cos(z)*3y, cos(z)*e^3xy*3x, -sin(z)*e^3xy)

div(∇f) = 9y²*cos(z)*e^3xy+9x²*cos(z)*e^3xy+e^3xy*(-cos(z))

           = cos(z)*e^3xy(9y²+9x²-1)

Der Ausdruck ist doch genau dann = 0, wenn z=π/2 zum Beispiel oder nicht ?? Und für z=π/2 ist f harmonisch... ?

Unser Dozent meint aber, dass f nicht harmonisch ist.

Ich kanns mir einfach nicht erklären...

Danke für jede Antwort

Answer 1

Eine Funktion ist genau dann harmonisch wenn gilt

$$ \Delta f(z) = 0 $$ für alle \( z \in U \)

Bei Dir gilt das aber nur für einzelne Werte \( z \). Deshalb ist die Funktion nicht harmonisch.