Konvergenz einer Reihe bestimmen

Question

Aufgabe:

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n^{2n}}$$

=> Quotientenkriterium:

((3^(n+1) * n^(2n)) / ((n+1)^(2*(n+1)) * 3^(n)) ) =  ( (n) / ((n+1)) ) -> 1 nicht kleiner 1

aber laut Lösung konvergiert die Reihe, weil in der Lösung die Reihe gegen 0 konvergiert und da 0 < 1 konvergiert die Reihe was mache ich faslch?

LG

Answer 1

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Answer 2

Wesentlich leichter als das Quotientenkriterium ist hier das Wurzelkriterium. Sei \(a_n:= \frac{3^n}{n^{2n}}\), so gilt:$$\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{|3^n|}{|n^{2n}|}}=\frac{3}{n^2}\overset{n\to \infty}\longrightarrow 0 <1$$

Answer 3

Oder hier eine weitere Möglichkeit mit dem Majorantenkriterium:

Betrachte $$ a_n:=\frac{3^n}{n^{2n}} .$$

Dann ist $$ |a_n|=\Bigg|\frac{3^n}{n^{2n}} \Bigg |=\frac{3^n}{n^{2n}} = \frac{3^n}{(n^n)^2}  \leq \frac{3^n}{n^n} \leq \frac{3^n}{n!} $$

Es ist $$  \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!}=e^3, $$

sodass die obige Reihe absolut konvergiert.