Vektoranalysis: Formel für Krümmung einer Funktion f(x) zeigen

Question

Hallo an alle!

Ich brauche bitte nochmal eure Hilfe beim Thema Krümmung. Ich soll zeigen, dass die Krümmung einer Funktion f(x) einer Veränderlichen gleich ... ist:

$$\kappa=f''(x) / (1+f'(x)^2)^{1/3}$$

Das muss irgendwie über Vektoranalysis gehen, aber ich komm nicht drauf.

Habt ihr eine Idee?

Comments

Nun, für's erste mal etwas zum Lesen:

http://www.brd.nrw.de/lerntreffs/mathe/pages/magazin/geschichten/kru…

Natürlich lässt sich die oben formulierte Aussage nur dann "zeigen", wenn der Begriff "Krümmung" zuvor definiert worden ist...

Answer 1

Aloha :)

Deine Idee mit der Vektoranalysis ist gut. Setze$$\vec r(x)=\left(\begin{array}{c}x\\ f(x)\end{array}\right)$$und nimm an, wir hätten $x=x(s)$ in Abhängigkeit von der Bogenlänge $s$ ausgedrückt, dann ist der Betrag der Ableitung von $\vec r$ nach $s$ gleich 1 und mit der Kettenregel folgt:

$$1=\frac{\left|d\vec r(x(s))\right|}{ds}=\frac{\left|d\vec r(x)\right|}{dx}\cdot\frac{dx}{ds}\;\;\Rightarrow\;\;\frac{ds}{dx}=\frac{\left|d\vec r(x)\right|}{dx}=\left|\left(\begin{array}{c}1\\ f'(x)\end{array}\right)\right|=\sqrt{1+f'(x)^2}$$$$\frac{d\vec r}{ds}=\frac{d\vec r(x(s))}{ds}=\left(\begin{array}{c}1\\ f'(x)\end{array}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{1+f'(x)^2}}$$Der Tangenteneinheistvektor ist also:$$\vec t(x)=\frac{1}{v(x)}\left(\begin{array}{c}1\\ f'(x)\end{array}\right)\quad;\quad v(x):=\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+f'(x)^2}$$

Da die Ableitung eines Einheitsvektors stets senkrecht auf diesem steht, liegt die Ableitung des Tangenteneinheitsvektors nach der Bogenlänge $s$ in Krümmungsrichtung. Der Normalenvektor ist daher:

$$\vec n=\frac{d\vec t}{ds}=\frac{d\vec t}{dx}\cdot\frac{dx}{ds}=\frac{1}{v(x)}\cdot\frac{d\vec t}{dx}=\frac{1}{v(x)}\cdot\left(\begin{array}{c}-\frac{v'(x)}{v^2(x)}\\\frac{f''(x)v(x)-f'(x)v'(x)}{v^2(x)}\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec n}=\frac{1}{v^3(x)}\cdot\left(\begin{array}{c}-v'(x)\\f''(x)v(x)-f'(x)v'(x)\end{array}\right)$$Die Ableitung von $v(x)$ ausrechnen$$v'(x)=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{1+f'(x)^2}\right)=\frac{2f'(x)f''(x)}{2\sqrt{1+f'(x)^2}}=\frac{f'(x)f''(x)}{v(x)}$$und einsetzen liefert weiter:$$\vec n=\frac{1}{v^3(x)}\cdot\left(\begin{array}{c}-\frac{f'(x)f''(x)}{v(x)}\\f''(x)v(x)-\frac{f'(x)^2f''(x)}{v(x)}\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec n}=\frac{1}{v^4(x)}\cdot\left(\begin{array}{c}-f'(x)f''(x)\\f''(x)v^2(x)-f'(x)^2f''(x)\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec n}=\frac{1}{v^4(x)}\cdot\left(\begin{array}{c}-f'(x)f''(x)\\f''(x)\left(1+f'(x)^2\right)-f'(x)^2f''(x)\end{array}\right)=\frac{1}{v^4(x)}\cdot\left(\begin{array}{c}-f'(x)f''(x)\\f''(x)\end{array}\right)$$Der Betrag dieses Vektors $\vec n$ ist die gesuchte Krümmung:$$\kappa=\frac{1}{v^4(x)}\cdot|f''(x)|\cdot\left|\left(\begin{array}{c}-f'(x)\\1\end{array}\right)\right|=\frac{1}{\left(1+f'(x)^2\right)^2}\cdot|f''(x)|\cdot\sqrt{1+f'(x)^2}$$$$\kappa=\frac{|f''(x)|}{\left(\sqrt{1+f'(x)^2}\right)^3}$$Mein Ergebnis sieht etwas anders aus als das, was du zeigen sollst. Schau mal bitte, ob du dich vielleicht bei deiner Formel vertippt hast.

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Vielen vielen Dank!!!

Ich habe etwas Zeit benötigt, um das zu verstehen, aber nun ist mir das klar geworden. Und du hast natürlich Recht, dass ich mich in der Formel vertan habe. Das korrigiere ich jetzt gleich.

Wie immer hast du alles super erklärt.

Answer 2

Bestimme den Krümmungsradius r indem du die Normale im Punkt P mit der Normale im Punkt P_h schneidest (Schnittpunkt S_h). Dabei soll der Abstand h zwischen P und P_h gegen 0 gehen und damit S_hP gegen r. Die Krümmung κ=1/r.