Zeigen Sie: W1 ∪ W2 ist ein Unterraum von V genau dann, wenn W1 ⊆ W2 oder W2 ⊆ W1 gilt

Question

ich habe eine frage und zwar

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K, und seien W1, W2 Unterräume von V . Zeigen
Sie: W1 ∪ W2 ist ein Unterraum von V genau dann, wenn W1 ⊆ W2 oder W2 ⊆ W1 gilt

ich habe ein bisschen was gemacht und bin mir nicht sicher ob es stimmt.

Angenommen es gilt nicht W1 ⊆ W2. Zu zeigen ist dann W2 ⊆ W1. Sei w2 ∈ W2 beliebig und w1 ∈ W1 \ W2

⇒ w1, w2 ∈ W1 ∪ W2.
W1 ∪ W2 Untervektorraum ⇒ w1 + w2 ∈ W1 ∪ W2.
Angenommen es gilt w1 +w2 ∈ W2. Dann gilt w1 = (w1 +w2)−w2 ∈ W2, ein
Widerspruch. Es folgt w1 +w2 ∈ W1, also w2 = (w1 +w2)−w1 ∈ W1, also W2 ⊆ W1.

Comments

Da hat sich bestimmt jemand verschrieben, denn so ist die Aussage, wie ich finde, falsch.

\(W_1\cup W_2 ~\text{ ist UVR}~~~ \Leftrightarrow  ~~~(W_1\subset W_2 ~\text{ oder } ~W_2\subset W_1)\)

- mit dem oder, nicht mit dem und wie oben macht es mehr Sinn...?

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Einverstanden. Habe mit dem korrigierten Duplikat aus deinem Kommentar verlinkt.

Answer 1

ja der Beweis stimmt und ist auch anschaulich aufgeschrieben (meiner Meinung nach).

MfG

Mister

Comments

danke schön.

habe ich vielleicht alle schritte respektiert und bewiesen?oder reicht es so

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Ob du alle Schritte respektiert hast?

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ja genau das

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Kommst du aus der Schweiz, spricht man da so? :)

PS: Ich weiß jetzt nicht, was du speziell damit meinst, alle Schritte respektiert zu haben. Vielleicht meinst du, ob du im Vergleich zu einem Lehrbuchbeweis alle Schritte aufgeschrieben hast und diese richtig begründet sind?

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Sei w2 ∈ W2 beliebig und w1 ∈ W1 \ W2. Könnte man noch begründen.

Es gibt ein w1 ∈ W1 \ W2 , wegen der Annahme, dass W1 ⊆ W2 nicht gilt.

Es gibt ein w2 ∈ W2, weil Vektorräume zwingend ein Element enthalten müssen.

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@Anonym: Nein, es reicht so.