Wie zeigt man: W1 ∪ W2 ist ein Unterraum von V genau dann, wenn W1 ⊆ W2 oder W2 ⊆ W1 gilt?

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Hallo,

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K, und seien W1,W2 Unterräume von V . Wie zeigt man: W1 ∪ W2 ist ein Unterraum von V genau dann, wenn W1 ⊆ W2 oder W2 ⊆ W1 gilt?

Gefragt 14 Nov von Jarvis

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Wie zeigt man: W1 ∪ W2 ist ein Unterraum von V genau dann, wenn W1 ⊆ W2 oder W2 ⊆ W1 gilt?

wenn W1 ⊆ W2 oder W2 ⊆ W1 gilt, dann ist W1 ∪ W2  entweder gleich W1 oder gleich  W2 , also ein Unterraum.

Die andere Richtung : Angenommen  W1 ∪ W2 ist ein Unterraum von V

  und  es ist weder  W1 ⊆ W2 noch  W2 ⊆ W1 . Dann gibt es x ∈  W1 und x ∉ W2

Dann gibt es  x ∈ W1 ∪ W2  mit    x ∈  W1 und x ∉ W2         #   und 

            es gibt  y ∈ W1 ∪ W2  mit    y ∈  W2 und y ∉ W1     ##

Da aber   W1 ∪ W2 ist ein Unterraum von V ist, ist x+y ∈ W1 ∪ W2  

also  x+y ∈ W1  oder  x+y ∈ W2    .

Wäre  x+y ∈ W1  dann ist wegen  x ∈  W1 auch (x+y) - x = y ∈  W1 im Widerspruch zu  ##

Wäre  x+y ∈ W2  dann ist wegen  y ∈  W2 auch (x+y) - y = x ∈  W2 im Widerspruch zu  #.

Also kann  W1 ∪ W2 ist ein Unterraum von V sein.

Beantwortet 14 Nov von mathef Experte CXXI

vielen Dank!

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