Beweisen Sie, dass W1 ∪ W2 genau dann ein Unterraum ist, wenn W1 ⊆ W2 oder W2 ⊆ W1 gilt

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Aufgabe:

Sei V V ein K K -Vektorraum und seien W1,W2⊆V W_{1}, W_{2} \subseteq V zwei Unterräume. Beweisen Sie, dass W1∪W2 W_{1} \cup W_{2} genau dann ein Unterraum ist, wenn W1⊆W2 W_{1} \subseteq W_{2} oder W2⊆W1 W_{2} \subseteq W_{1} gilt.


Ansatz/Problem:

Ich würde gerne wissen, ob die Idee für die Richtung "⇒" passt.

Richtung "⇐": Wenn W1 ⊆ W2 gilt, dann ist W1 ∪ W2 = W1, analog wenn W2 ⊆ W1, dann ist W1 ∪ W2 = W2
Und laut Aufgabe sind W1 und W2 ja Unterräume. Also ist dann auch W1 ∪ W2 Unterraum.

Richtung "⇒": W1 ∪ W2 ist ein Unterraum, dann muss gelten:
- W1 und W2 sind jeweils ein Unterraum.
- Es muss für jedes wi aus W1 ∪ W2 die Abgeschlossenheit der Vektoraddition gelten (neben der Existenz der 0 und der Skalarmultiplikation) . Das geht nur, wenn alle wi ∈ W1, ∈ W2 sind, da man sonst w1 und w2  finden kann, sodass
w1 ∈ W1 aber w1 ∉ W1 ∪ W2   bzw.    w2 ∈ W2 aber w2 ∉ W1 ∪ W2.
Daher muss W1 ⊆ W2 oder W1 ⊆ W2 gelten.

Ich bin mir sicher, es geht auch kürzer bzw effizienter haha

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📘 Siehe "Vektorraum" im Wiki

1 Antwort

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Beste Antwort
Es muss für jedes wi aus W1 ∪ W2 die Abgeschlossenheit der Vektoraddition gelten

Das ist eine falsche Formulierung: Abgeschlossenheit bezüglich der Addition eines (potentiellen) Unterraums U bedeutet: ∀u,v∈U : u+v∈U\forall u,v \in U: u+v \in U

w1 ∈ W1 aber w1 ∉ W1 ∪ W2

Das geht nicht, weil W1⊆W1∪W2W_1 \sube W_1 \cup W_2

Den gesuchten Beweis kann man indirekt so führen, Annahme: Es ist weder W1⊆W2W_1 \sube W_2 noch W2⊆W1W_2 \sube W_1, aber dennoch W1∪W2W_1 \cup W_2 ein Unterraum. Wähle u∈W1∖W2u \in W_1 \setminus W_2 und v∈W2∖W1v \in W_2 \setminus W_1. also  u+v∈W1∪W2u+v \in W_1 \cup W_2.$$

FALL :  u+v=w∈W2⇒u=w−v∈W2 :  Widerspruch\text{FALL: }u+v=w \in W_2 \Rightarrow u=w-v \in W_2 \text{: Widerspruch}

FALL :  u+v=w∈W1⇒v=w−u∈W1 :  Widerspruch\text{FALL: }u+v=w \in W_1 \Rightarrow v=w-u \in W_1 \text{: Widerspruch}

Avatar von 14 k

Vielen Dank!
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Text erkannt:

w1∈ W1 \mathrm{w} 1 \in \mathrm{~W} 1 aber w1∉ W1∪ W2 \mathrm{w} 1 \notin \mathrm{~W} 1 \cup \mathrm{~W} 2

Das geht nicht, weil W1⊆W1∪W2 W_{1} \subseteq W_{1} \cup W_{2}

Genau das wollte ich zeigen mit einem Widerspruch :)

LG

von

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