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Kriterium für Injektivität bei linearen Abbildungen:

Sei \(α\) eine lineare Abbildung von \(V\) nach \(W.\) 
α ist genau dann injektiv wenn \(α^{-1}(\{0_W\}) = \{0_V\}.\)


Problem:
Ich sehe nicht ein wieso das reicht. 
Wieso reicht das ? 

Wenn ich richtig liege, gilt es doch zu zeigen, dass

für alle \(v,u \in V\) gilt:  
falls \(α(v) = α(u)\) dann muss \(v = u\) sein. 

Mit obigem Kriterium habe ich das noch nicht gezeigt. Oder schon ?


Vielen Dank für die Antworten. 

von

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Aloha :)

\(f:V\to W\) ist linear, d.h.:$$(1)\;\;f(a+b)=f(a)+f(b)\quad;\quad\forall a,b\in V$$$$(2)\;\;f(\lambda a)=\lambda f(a)\quad;\quad\forall a\in V\;,\;\forall \lambda\in K$$Bei jeder linearen Abbildung wird die \(0\) auf die \(0\) abgebildet, denn$$f(0)=f(0\cdot a)=0\cdot f(a)=0$$

Wir zeigen: \(f\) injektiv \(\Leftrightarrow\) Kern(f)=\(\{0\}\)

\("\Rightarrow"\) Wir setzen \(f\) als injektiv voraus und nehmen an, es gibt ein \(a\ne0\) mit \(f(a)=0\):$$\phantom{"\Rightarrow"}f(a)=0\,\land\,f(0)=0\quad\Rightarrow\quad f(a)=f(0)\quad\Rightarrow\quad a=0\;\;\mbox{Widerspruch}$$\(\phantom{"\Rightarrow"}\)Der Kern besteht also nur aus der \(0\).

\("\Leftarrow"\) Nun nehmen wir an, Kern\((f)=\{0\}\), d.h. nur die \(0\in V\) bildet auf die \(0\in W\) ab.

\(\phantom{"\Leftarrow"}\)Seien \(a,b\in V\) mit \(f(a)=f(b)\), dann gilt wegen der Linearität:$$\phantom{"\Leftarrow"}f(a)=f(b)\;\;\Rightarrow\;\;0=f(a)-f(b)=f(a-b)\;\;\Rightarrow\;\;a-b\in\mbox{Kern}(f)$$$$\phantom{"\Leftarrow"}\Rightarrow\;\;a-b=0\;\;\Rightarrow\;\;a=b$$\(\phantom{"\Leftarrow"}\)Weil der Kern ausschließlich die \(0\) enthält, ist \(f\) also injektiv.

Bei jeder linearen Abbildung liegt die \(0\) im Kern. Bei einer injektiven linearen Abbildung \(f\) ist die \(0\) das einzige Element im Kern, daher bildet nur die \(0\) auf \(f(0)=0\) ab und die Umkehrung \(f^{-1}(0)=0\) ist eindeutig.

von 3,9 k

Perfekt, vielen Dank !

+1 Daumen

Hi,

(I) es gelte $$  \alpha^{-1}(\{0\}) = \{0\}  $$ dann folgt aus $$  \alpha(v) = \alpha(u) $$ dass gilt $$  \alpha(v) - \alpha(u) = \alpha(v-u) = 0 $$ und deshalb \( v - u \in \{0\} \) also \( u = v \)

(II) \( \alpha \) injektiv, dann folgt aus \( \alpha(v) = 0 \) auch \( v = 0 \) also \( \alpha^{-1}(\{0\}) = \{0\} \)

von 24 k

Auch dir vielen Dank für deine Antwort !

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