Zeigen Sie mit Hilfe der Definition für die Konvergenz einer Folge, dass die Folge (1/(2n+1)) gegen Null konvergiert

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie mit Hilfe der Definitions für die Konvergenz einer Folge, dass die Folge
$$\left(\frac{1}{2 n+1}\right)$$
gegen Null konvergiert. Ab welchem Index sind die Folgenglieder kleiner als
$$\varepsilon:=10^{-2} ?$$
b) Entscheiden Sie, ob die folgenden Folgen konvergieren. Beweisen Sie dies und bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte:
$$\begin{array}{l} {\left(a_{n}\right) \text { i= }\left(\sin \frac{2 n \pi}{5}\right)} \\ {\left(b_{n}\right) \text { i= }\left(\frac{n^{10}}{n^{8}-\sin (n)}\right)} \end{array}$$
$\left(c_{n}\right)=\left(\frac{-n^{4}+n-1}{n^{4}+2 n-2}\right)$
$\left(d_{n}\right) \quad:=(\sqrt{n^{4}+n^{2}-1}-\sqrt{n^{4}+1})$

Answer 1

Hi,

a)

$$\lim \frac{1}{2n+1} = \lim\frac{\frac1n}{2+\frac1n} = 0$$

Da der Zähler gegen 0 geht und der Nenner gegen 2.

 

Das Epsilon ist nur stur Formel anwenden. Schlage sie nach ;).

 

b)

a_n - Keine Konvergenz, da mehr als einen Häufungspunkt (wir schwanken ja zwischen -1 und 1)

 

b_n - Keine Konvergenz. Sinus kann man vernachlässigen, da ja nur im Bereich von -1 bis 1. n¹⁰ ist stärker als n⁸

 

c_n - Man betrachte nur die höchste Potenz, da der Rest eh irrelevant ist (alternativ wie bei a) einfach durch n⁴ dividieren).

Es verbleibt: $\lim \frac{-n^4}{n^4} = -1$, was der Grenzwert ist

 

d_n - Erweitere mit der dritten binomischen Formel

$$\lim \frac{n^4+n^2-1-(n^4+1)}{\sqrt{n^4+n^2-1}+\sqrt{n^4+1}}$$

Vereinfachen (im Nenner ignorieren von n²-1 und 1)

$$\lim \frac{n^2-2}{2\sqrt{n^4}} = \lim \frac{n^2-2}{2n^2} = \frac12$$

 

Grüße

Comments

Ich versteh das mit dem Epsilon nicht, was meinst du mit stur formal anwenden :/ ?

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Wenn ich das richtig verstanden habe, musst du nur die Folge, den Grenzwert und Epsilon in die Betragsungleichung aus der Definition einsetzen und diese nach n umstellen, um den Startindex zu erhalten.

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Na bestimme |a_n+1-a_n|<10^-2

 

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt man auf n = 6,089, man hat also mit n = 7 das erste Folgeglied das obige Forderung erfüllt ;).

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Warum |a_n+1-a_n|? laut Definition muss doch der Grenzwert in unserem Fall 0 abgezogen werden

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Wieso kann man denn n^2-1 und 1 ignorieren?

Und wieso ist n^2 -2/ 2n^2 = 1/2 ? n^2/2n^2 ist 1/2 ist klar,aber wo fällt die -2 hin?

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Nun, wenn n gegen unendlich strebt, dann sind die kleinen Beiträge irrelevant. Ob Du jetzt unendlich oder unendlich -2 hast, ist nun wirklich egal. Das klappt auch bei n^4+n^2-1, die beiden letzteren Summanden sind zu klein, als dass sie relevant wären.

Answer 2

Nur mal zu a) und Epsilon

1/(2n+1) < 1/100

100 < 2n+1

99 < 2n

49.5 < n

Ab n = 50 ist |an - a| < €

Comments

Was ist denn jetzt richtig...das von dir oder von unknown x.x?

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Unknown arbeitet mE mit dem Cauchykriterium ich mit der Definition von Grenzwert. Vom Cauchykriterium kann ich aber in der Aufgabenstellung nichts erkennen.

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Das höre Ich auch zum ersten mal um ehrlich zu sein

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99<2n  |:2
<=>49,5<n

kleiner Rechenfehler

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Ups, hab tatsächlich mit Cauchy gerechnet ;).