3 Definitionen bezüglich Darstellungsmatrizen - Ich verstehe die Definition nicht, kennt jemand ein Rezept?

Question

1. Definition: Darstellung linearer Abbildungen vom \(\mathbb{K}^{\boldsymbol{n}}\) in \(\mathbb{K}^{m}\)

bezüglich der Standardbasen. 

\(\begin{array}{l}{\text { Zu jeder linearen Abbildung } \varphi \text { von } \mathbb{K}^{n} \text { in } \mathbb{K}^{m} \text { gibt es eine }} \\ {\text { Matrix } \boldsymbol{A} \in \mathbb{K}^{m \times n} \text { mit } \varphi=\varphi_{A} . \text { Diese Matrix } A \text { ist gegeben }} \\ {\text { als }} \\ {\qquad A=\left(\left(\varphi\left(\boldsymbol{e}_{1}\right), \ldots, \varphi\left(\boldsymbol{e}_{n}\right)\right)\right) \in \mathbb{K}^{m \times n}}\end{array}\)

1. Problem:
Ich denke, dass sich die Matrix A so ergibt, indem ich eine Basis des IKⁿ wähle und deren Basiselemente (geordnet) in eine Matrix einsetze und in dieser Matrix die Spaltenvektoren (welche die Basiselemente bilden) mit der Abbildungsvorschrift phi abbilde. 

1. Frage
Stimmt das ? 


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Jetzt kommt die zweite Definition bezüglich Koordinatenvektoren: 

2. Definition: Der Koordinatenvektor bezüglich einer Basis B.
$$\begin{array}{l}{\text { Ist } B=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right) \text { eine geordnete Basis eines } \mathbb{K}-} \\ {\text { Vektorraums } V, \text { so besitzt jedes } v \in V \text { genau eine }} \\ {\text { Darstellung }} \\ {\qquad v=v_{1} b_{1}+\cdots+v_{n} b_{n}} \\ {\text { mit } v_{1}, \ldots, v_{n} \in \mathbb{K} . \text { Es heißt }_{B} v=\left(\begin{array}{c}{v_{1}} \\ {\vdots} \\ {v_{n}}\end{array}\right) \in \mathbb{K}^{n} \text { der Koordi- }} \\ {\text { natenvektor von } v \text { bezüglich } B .}\end{array}$$

Das habe ich verstanden. 


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Jetzt kommt die dritte Definition: 

3. Definition: Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung. 

Man nennt die Matrix $$c M(\varphi)_{B}=\left(\left(c \varphi\left(b_{1}\right), \ldots, c \varphi\left(b_{n}\right)\right)\right) \in \mathbb{K}^{m \times n}$$

die Darstellungsmatrix von \(\varphi\) Bezüglich der Basen \(B\) und \(C.\)

3. Problem:
Ich denke, dass in dieser Darstellungsmatrix 3 der Basisvektor zuerst abgebildet wird und dann in einem zweiten Schritt bezüglich der Basis C  ausgedrückt wird. So von Spalte zu Spalte.

3. Frage: 
Kennt jemand eine Erklärung oder etwas das mir die obigen Sachverhalte klar machen kann ?

Answer 1

Es ist bei den Darstellungsmatrizen bei einer lin. Abb. von V nach W 
immer das gleiche:

In der i-ten Spalte stehen die Koordinaten bzgl der Basis von W

des Bildes des  i-ten Basisvektors von V.

Comments

In der i-ten Spalte stehen die Koordinaten bzgl der Basis von W

des Bildes des  i-ten Basisvektors von V.

Woah, der Satz is zu viel, kann man den etwas anders schreiben ? :)

Edit: Mit zu viel meine ich, dass ich den nicht so verstehen kann.

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Vielleicht in mehreren Schritten:

Wenn du die i-te Spalte der Matrix berechnen willst:

1. Nimm den i-ten Basisvektor von V

2. Bestimme dessen Bild.

3. Berechne eine Linearkombination für dieses Bild
    mit den Basisvektoren von W.

4. Schreibe die so berechneten Koeffizienten in die i-te
    Spalte der Matrix.

Answer 2

Aloha :)

Die Transformationsmatrix von einer Basis A zu einer Basis B erhältst du wie folgt:

1) Stelle jeden B-Basisvektor als Linearkombination der A-Basisvektoren dar.

2) Die Koeffizienten dieser Linearkombinationen schreibst du als Spaltenvektoren in die Matrix.

Fertig.