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Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Sei } f : \mathbb{R}_{2}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{2}[x] \text { eine lineare Abbildung, die bezüglich der geordneten Basis }} \\ {\qquad A=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=\left(1, x, x^{2}\right)} \\ {\text { die folgende Darstellungsmatrix hat: }} \\ {\qquad \begin{aligned} A^{M}(f)_{A}=\left(\begin{array}{ccc}{0} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {0}\end{array}\right) \\ \text { Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix }_{B} M(f)_{B} \text { von } f \text { bezüglich der geordneten Basis }  B=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) &=\left(x-x^{2}, 1+2 x+x^{2}, 1+3 x+x^{2}\right) \end{aligned}}\end{array} $$

Problem/Ansatz: Ich dachte diese Basis B wäre gegeben bezüglich der Standardbasis. Dann stände dort ja e3M(id)B Also die Identität von B bezüglich e3. Die Rechnung um bM(f)b zu bestimmen wäre dann: bM(id)e3 * e3M(id)b . Allerdings steht in der Lösung das wenn man die Matrix B aufstellt, diese bezüglich A gegeben ist. Also aM(id)b. Doch woran erkenne ich bezüglich welcher Basis B gegeben ist in diesem Beispiel?

von

1 Antwort

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Aloha :)

Du musst zwischen dem Vektor selbst und seinen Koordinaten unterscheiden. Der Vektor ist in jeder Basis derselbe. Die Komponenten des Vektors werden jedoch immer relativ zu einer Basis angegeben. Daher ändern sich die Koordinaten eines Vektors, wenn sich die zugrunde liegende Basis ändert. In dieser Aufgabe beschreiben die Vektoren die Polynome vom Grad 2, allerdings in 2 unterschiedlichen Basen \(A\) und \(B\). Das Prinzip wird vermutlich klar, wenn wir die Aufgabe einfach mal durchgehen.

Du hast die Abbildungsmatrix \(M(f)\) bezüglich der Basis \(A\) gegeben. Die Matrix erwartet also, dass die Komponenten des Vektors, den du von rechts multiplizierst, bezüglich der Basis \(A\) gegeben sind. Das Ergebnis der Multiplikation ist dann ein Vektor, dessen Komponenten wieder bezüglich der Basis \(A\) gegeben sind. Das kann man deutlich machen, indem die Eingangsbasis rechts und die Ausgabebasis links als Indizes an die Abbildungsmatrix geschrieben werden, hier also: \(_AM(f)_A\).

Du hast nun eine weitere Basis \(B\) gegeben und sollst die Matrix \(_AM(f)_A\) so umformen, dass rechts ein Vektor mit Komponenten zur Basis \(B\) reinkommt und links ein Vektor mit Komponenten zur Basis \(B\) herauskommt, das wäre dann die Matrix: \(_BM(f)_B\).

Nehmen wir kurz an, du hättest eine Matrix \(_AS_B\), die einen Vektor mit Komponenten bezüglich der Basis \(B\) in den identischen Vektor, allerdings mit Komponenten bezüglich der Basis \(A\) transformiert. Dann transformiert die inverse Matrix einen Vektor von \(A\) nach \(B\), d.h. \(_BS_A=(_AS_B)^{-1}\). Die gesuchte Abbildungsmatrix wäre dann:

$$_BM(f)_B={_BS_A}\cdot{_AM(f)_A}\cdot {_AS_B}={(_AS_B)^{-1}}\cdot{_AM(f)_A}\cdot {_AS_B}$$Wird von rechts ein Vektor mit Komponenten zur Basis \(B\) multipliziert, werden seine Komponenten zunächst durch die Multiplikation mit \(_AS_B\) in die Basis \(A\) überführt. Anschließend wirkt die Abbildungsmatrix \(_AM(f)_A\) und führt die gewünschte Funktion aus. Zum Schluss müssen die Komponenten des Ergebnisvektors noch von der Basis \(A\) in die Basis \(B\) transformiert werden. Das erledigt die Multiplikation mit \(_BS_A\) bzw. mit \((_AS_B)^{-1}\).

Mit diesem Verständnis im Hinterkopf haben wir das Problem auf das Finden der Transformationsmatrix \(_AS_B\) reduziert. Diese erhält man, indem man jeden Basisvektor der neuen Basis als Linearkombination der alten Basisvektoren schreibt:

$$x-x^2=\underline{0}\cdot 1+\underline{1}\cdot x+\underline{(-1)}\cdot x^2$$$$1+2x+x^2=\underline{1}\cdot 1+\underline{2}\cdot x+\underline{1}\cdot x^2$$$$1+3x+x^2=\underline{1}\cdot 1+\underline{3}\cdot x+\underline{1}\cdot x^2$$Die Koeffizienten dieser Linearkombinationen schreibt man jetzt als Spalten in eine Matrix und erhält die so dringend benötigte Transformationsmatrix

$$_AS_B=\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 1\\1 & 2 & 3\\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\;\;;\;\;_BS_A=(_AS_B)^{-1}=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & -1\\4 & -1 & -1\\-3 & 1 & 1\end{array}\right)$$$$_BM(f)_B=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & -1\\4 & -1 & -1\\-3 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 1\\1 & 2 & 3\\-1 & 1 & 1\end{array}\right)$$$$\phantom{_BM(f)_B}=\left(\begin{array}{c}-1 & 0 & 0\\-5 & 1 & 0\\4 & 0 & 1\end{array}\right)$$Ich hoffe, das war halbwegs verständlich beschrieben. Falls nicht, frag bitte einfach nochmal nach.

von 12 k

Hey, super vielen Dank für die ausführliche Antwort.

Also wenn ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Ich wollte aber noch nachfragen ob folgende Beobachtung auch richtig ist.

Und zwar: Ich brauche ja auch die Matrix aM(f)b. Was hier in deinem Fall beschrieben ist durch $$ _{A} M(f)_{A} \cdot\left(_{B} S_{A}\right)^{-1} $$

Aber diese können wir doch in unserem Beispiel direkt ablesen, weil in diesem Fall die Basis A ja einfach die Einheitsmatrix E3 ist. Also ist e3M(f)b sowieso (zumindest hier) auch aM(f)b richtig?

Wenn das nicht so wäre müsste ich um meine Matrix aM(f)b zu erhalten folgende Rechnung durchführen: aM(f)b = (e3M(id)a)^-1 * e3M(f)b


Vielen Dank nochmal und Grüße

\(_AM(f)_A\cdot(_BS_A)^{-1}\) erwartet, dass die Komponenten des Eingabevektors rechts bezüglich der Basis \(B\) angegeben sind. Daher kommst du um die Transformation der Koordinaten in die Darstellung bezüglich der Basis \(A\) nicht herum. Allerdings ist der Ausgabevektor nach der Matrixmultiplikation bereits in Komponenten zur Basis \(A\) dargestellt. Da die Transformation von \(A\) nach \(A\) mit der Einheitsmatrix passiert, müsste man theoretisch von links noch mit der Einheitsmatrix multiplizieren. Aber die ändert ja nichts, sodass dieser Schritt hier entfallen kann.

Wenn dem nicht so wäre, hast du auch die korrekte Transformationsformel angegeben. Ich denke, du hast das Prinzip verstanden.

Hallo Tschakabumba,

ich glaube, in Deiner Ausführung ist Dir ein Fehler unterlaufen.

Du schreibst:

"Nehmen wir kurz an, du hättest eine Matrix $$_BS_A$$, die einen Vektor mit Komponenten bezüglich der Basis A in den identischen Vektor, allerdings mit Komponenten bezüglich der Basis B transformiert."

Dann ist

$$_AS_B=\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 1\\1 & 2 & 3\\-1 & 1 & 1\end{array}\right)$$

Und das Ergebnis lautet dann:

$$_BM(f)_B=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & -1\\4 & -1 & -1\\-3 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 1\\1 & 2 & 3\\-1 & 1 & 1\end{array}\right)$$

Gruß

Woodoo

Hallo Woodoo :)

Ja, du hast Recht. Wenn man die Transformationsmatrix so bildet wie ich geschrieben habe (jeden neuen Basis-Vektor als Linearkombination der alten Basis-Vektoren schreiben und dann die Koeffizienten als Spalten in die Matrix eintragen), werden die Einheitsvektoren der neuen Basis auf die alte abgebildet.

Vielen Dank für den Hinweis! Ich habe das oben korrigiert.

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