Gegeben: σ0=(1001),σ1=(0110),σ2=(0i−i0),σ3=(100−1).
Aufgabe:
a) Zeigen, dass das Tupel (σ0,σ1,σ2,σ3) eine Basis des Komplexen Vektorraumes Mat2x2(C) der 2x2-Matrizen bildet.
b) Zeige dass die Abbilding T linear ist: T : Mat2x2(C)→Mat2x2(C)X↦XB−BX,
wobei B = (1011)
Problem/Ansatz zu a)
Ich weiss dass Grundsätzlich gelten muss,
1. ) σ0,σ1,σ2,σ3∈Mat2x2(C).
Auch muss gelten dass:
2. ) ⟨σ0,σ1,σ2,σ3⟩=Mat2x2(C).
Zusätzlich aber noch dass:
3. ) σ0,σ1,σ2,σ3 linear Unabhängig sind.
Wie zeige ich 1,2,3 für a ?
1. Weiss ich nicht.
2. Durch Linearkombination: a∗σ0+b∗σ1+c∗σ2+dσ3= Die Menge aller 2x2 Matrizen über C.
3. Weiss ich nicht. Mit Vektoren konnte ich alles in eine Grosse Matrix packen und per Gauss in ZSF bringen, wenn ich aber Matrizen als Basiselemente habe, weiss ich nicht wie ich vorgehen soll.
Wie zeige ich b ) ?
Es soll die Homogenität und Linearität gelten.
Wie ich das bei diesen Matrix-Basiselementen zeigen kann, ist mir unklar.
Wie erwähnt, bei Vektoren kann ich das.
Frage:
Kann mir jemand 1 und 3 zeigen, im Idealfall vorführen ?
Kann mir jemand erklären wie ich Homogenität und Linearität bei Matrizen zeigen kann ?