Finden Sie alle a ∈ R, so dass die Vektoren linear abhängig sind

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle a ∈ R, so dass die Vektoren

\( \begin{pmatrix} 1\\a\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} a\\1\\2 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix} \)

im R³ linear abhängig sind.

Finden Sie alle a ∈ R, so dass die Vektoren aus (a) eine Basis des R³ bilden. Sie dürfen
dimR R³ = 3 benutzen.

Problem/Ansatz:

Ich habe alle 3 Vektoren in eine 3x3 Matrix geschrieben und die Determinate berechnet (bzw. ich versuche es)

\( \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ a & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \)

Rechnung:

(1*1*(-1)) + (a*1*0) + (0*a*2) - (0*1*0) - (2*1*1) - ((-1)*a*a)

=0*1*0-2*1*1-(-1)*a*a

=-1+a+0-0-2+a² 

=-1+a+a²

Was soll ich jetzt machen? Irgendwie müsste ich a herausbekommen. Dann a in die Matrix einsetzen und wenn als Determinate 0 rauskommt, sind die Vektoren in R³ linear abhängig?

Comments

ich verstehe nicht, wie du det bestimmt hast entwickle nach der ersten Zeile oder Spalte, dann det=0 bestimmen, daraus a.

es ist 1*(-1-2) -a*(-a-0)

Gruß lul

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Als Determinante habe ich a² - 3 raus. Sollte das stimmen, dann ist die Determinante gleich Null, falls a² = 3 ist. In diesen Fällen sind die drei Vektoren linear abhängig.

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@lul

So wie hier: https://www.mathebibel.de/determinante-berechnen

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Das ist mir zu umständlich um es nachzuvollziehen, weisst du nicht, wie man mit Unterdeterminanten nach einer Zeile entwickelt, hier hast du wegen einer 0 ja nur 2 einfache Unterdeterminanten?  sieh meine Ergänzung

lul

Answer 1

Aloha :)

Die Determinante der 3 Vektoren gibt das von ihnen aufgespannte 3-dimensionale Volumen an. Wenn die 3 Vektoren linear abhängig sind, spannen sie kein 3-dimensionales Volumen auf, d.h. ihre Determinante verschwindet dann. Du musst also die Determinante der 3 Vektoren \(=0\) setzen.

$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}1 & a & 0\\a & 1 & 1\\0 & 2 & -1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & a & 0\\0 & 1-a^2 & 1\\0 & 2 & -1\end{array}\right|=-(1-a^2)-2=a^2-3\implies a=\pm\sqrt{3}$$

Ich habe \(a\)-mal die erste Zeile von der zweiten Zeile subtrahiert. Danach habe ich die Determinante nach der ersten Spalte entwickelt.