Man ermittle E(X) und Var(X) | Normalverteilung | Stochastik

Question

Aufgabe:

Sei die Zufallsvariable X normalverteilt mit

$$F(4+x) = 1-F(4-x)\quad , x\in\mathbb{R}$$

und

$$max_{x\in \mathbb{R}}f(x) = \frac{1}{\sqrt{8\pi}}$$

man ermittle: $$E(X) = \mu \quad und \quad Var(X) = \sigma^{2}$$

Ansatz:

E(X) ist ja (meines Wissens nach) angegeben mit dem Maximum der Dichtefunktion, welches ja den Erwartungswert E(X) darstellt. Also: $$\frac{1}{\sqrt{8\pi}}$$

Weiter komme ich bei dieser Aufgabe jedoch leider nicht. Ich würde mich sehr über Hilfe freuen!

Answer 1

Aloha :)

Die Zufallsgröße $x$ ist normal-verteilt mit der Dichtefunktion $f(t)$ und der Verteilungsfunktion $F(x)$:

$$F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(t)\,dt\quad;\quad f(t)=\frac{1}{\sigma\,\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}$$In $f(t)$ ist der Exponent $-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2$ immer $\le0$, der Faktor $e^\cdots$ ist also immer $\le1$ und wird exakt $1$ bei $t=\mu$. In der Aufgabenstellung ist $f_{max}=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}$ vorgegeben, sodass:$$\frac{1}{\sqrt{8\pi}}=f_{max}=f(t=\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\quad\Rightarrow\quad\underline{\sigma=2}$$

Weiter wissen wir aus der Aufgabenstellung, dass $F(x+4)=1-F(4-x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$ gilt, also können wir auch $x=0$ einsetzen und finden:$$F(0+4)=1-F(4-0)\;\;\Leftrightarrow\;\;F(4)=1-F(4)\;\;\Leftrightarrow\;\;2\cdot F(4)=1\;\;\Leftrightarrow\;\;F(4)=\frac{1}{2}$$Bei $x=4$ hat die Verteilungsfunktion $F(x)$ ihren halben Maximalwert von $1$ erreicht, d.h.: $\underline{\mu=4}$

Answer 2

Hallo Nicohe.

E(X) ist ja (meines Wissens nach) angegeben mit dem Maximum der Dichtefunktion, welches ja den Erwartungswert E(X) darstellt. Also:

E(X) ist der Erwartungswert und damit die Stelle x an der das Maximum der Dichtefunktion liegt. Es ist nicht der Funktionswert der Dichtefunktion an dieser Stelle.

F(4 + x) = 1 - F(4 - x)

Kannst du vermuten was die 4 in diesem Kontext zu bedeuten hat? Kannst du das begründen?

1/(√(2·pi)·σ) = 1/√(8·pi) → σ = 2

Comments

Hallo und danke für die schnelle Antwort!

Okay also handelt es sich bei E(X) sozusagen um die Position auf der X-Achse und nicht um den eigentlichen Wert an der Stelle? Soweit so gut.

1/(√(2·pi)·σ) = 1/√(8·pi) → σ = 2

Also ist Var(X) = 2² = 4. 
Aber woher kommt das 1/(√(2·pi)·σ) ?

   
Gefunden habe ich es, aber keinen Zusammenhang...

Nun fehlt ja auch noch das E(X).

Kannst du vermuten was die 4 in diesem Kontext zu bedeuten hat? Kannst du das begründen?

Leider finde ich dazu weiter nichts...

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Zeichne dir Mal eine Normalverteilung auf mit Erwartungswert μ. Denk dir von mir aus irgendeinen beliebigen Wert für μ (z.B. 10) aus. Jetzt denkst du dir noch einen beliebigen Wert für x (z.B. 2) aus. Aus vereinfachungsgründen kannst du auch gerne σ = x wählen.

Könntest du jetzt zeichnen was man mit F(μ + x) und mit 1 - F(μ - x) berechnet?

Wenn nicht solltest du die Grundlagen der Normalverteilung ansehen.