Wie viele Prozent der Packungen enthalten zwischen 0,98 und 1,02 Liter Milch?

Question

Aufgabe:

In einer Molkerei werden 1-Liter-Milchpackungen abgefüllt.

Dabei wird eine Füllmenge von 960 ml bis 1050 ml toleriert.

Aus statistischen Untersuchungen weiß man,dass in 2.5% der Fälle die tolerierte Füllmenge unterschritten und in 3.6% der Fälle überschritten wird.

Problem/Ansatz:

Wie viele Prozent der Packungen enthalten zwischen 0,98 und 1,02 Liter Milch?

Ich weiß nur ,dass hier man mü und Sigma finden kann,

Aber wie..

Ich bitte wirklich um Hilfe!

Answer 1

NORMAL((960 - μ)/σ) = 0.025 → (960 - μ)/σ = -1.960
1 - NORMAL((1050 - μ)/σ) = 0.036 → (1050 - μ)/σ = 1.799

Löse das Gleichungssystem und erhalte: μ = 1007 ∧ σ = 23.94

NORMAL((1020 - 1007)/23.94) - NORMAL((980 - 1007)/23.94) = 0.5767

Answer 2

Aloha :)

Hier handelt es sich um ein normalverteiltes Problem. Wir wissen, dass in 2,5% der Fälle weniger als 0,96 Liter Milch und in 3,6% der Fälle mehr als 1,05 Liter Milch abgefüllt werden. Einer Tabelle zur Standard-Normalverteilung $\Phi(z)$ entnehmen wir:$$\Phi(-1,95996)=2,5\%\quad;\quad\Phi(1,799118)=96,4\%=1-3,6\%$$und schließen daraus:$$\mu-1,95996\sigma=0,960\quad;\quad\mu+1,799118\sigma=1,050$$Subtrahiert man die linke von der rechten Gleichung erhält man $3,759082\,\sigma=0,09$ bzw. $\sigma=0,023942$. Das in eine der beiden Gleichungen eingesetzt ergibt noch $\mu=1,006925$. Zusammen also:$$\mu=1,006925\quad;\quad\sigma=0,023942$$Nun können wir die Wahrscheinlichkeit $p$ für eine Füllmenge zwischen 0,98 und 1,02 Liter aus einer $\Phi(z)$-Tabelle bestimmen:

$$p=\Phi\left(\frac{1,02-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{0,98-\mu}{\sigma}\right)=\Phi(0,546091)-\Phi(-1,12461)$$$$\phantom{p}=0,707498-0,130377=57,7122\%$$