Matrix für eine Polynomfunktion?

Question

Aufgabe: Sei P3 der komplexe Vektorraum der komplexen Polynome p(x) vom Grad <=3. Ein Endomorphismus f von P3 ist gegeben durch:  f(p) = p'' + p' +p

(a) Bestimme die Eigenwerte von f

Problem/Ansatz:

Ich dachte Eigenvektoren kann man nur aus Matrizen berechnen. Ich weiss aber nicht, wie ich diese Funktion in die Matrixschreibweise bekomme.

Answer 1

Ein Eigenwert k zu einem Endomorphismus f ist eine Zahl,

zu der es einen Vektor p ungleich 0 gibt (Hier also ein Polynom,

das nicht das Nullpolynom ist) mit  f(p) = k*p.

Das hieße bei dir:

f(p) = k*p

<=> p'' + p' +p = k*(p'' + p' +p)

<=> 0 = (k-1)*p'' + (k-1)*p' + (k-1)*p    #

Also ist k=1 sicher schon mal ein Eigenwert.

Mit einem Ansatz wie p=ax^3 + bx^2 +cx +d

eingesetzt in # findest du vielleicht noch mehr.

Geht aber auch einfacher: Bestimme die Matrix bzgl der

Standardbasis x^3 , x^2 , x , 1 . Die ist M=

1     0      0      0
3     1      0      0
6     2      1      0
0     2      1      1

und dann ist    det(M-x*E) = (x-1)^4 ,

also 1 der einzige Eigenwert.

Answer 2

Aloha :)

Wir betrachten komplexe Polynome der Form: \(p(x)=a+bx+cx^2+dx^3\). Diese können wir in Vektorschreibweise notieren:$$\vec p=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\end{array}\right)\quad;\quad\text{Basis:}\;\left\{1,x,x^2,x^3\right\}$$

Der gegebene Endomorphismus \(f(p)=p+p'+p''\) kann in Matrix-Schreibweise überführt werden, wenn wir uns überlegen, wie sich jeder einzelne Basis-Vektor unter der Tranformation \(f\) verhält:

$$p(x)=1\quad\Rightarrow\quad f(p)=1$$ $$p(x)=x\quad\Rightarrow\quad f(p)=x+1$$ $$p(x)=x^2\quad\Rightarrow\quad f(p)=x^2+2x+2$$ $$p(x)=x^3\quad\Rightarrow\quad f(p)=x^3+3x^2+6x$$Damit ist die gesuchte Abbildungsmatrix:

$$A_f=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 2 & 0\\0 & 1 & 2 & 6\\0 & 0 & 1 & 3\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Wenn du an diese Matrix von rechts den allgemeinen \(\vec p\) von oben dran multiplizierst, erhältst du die allgemeinen Endomorphismus \(f\).

Wegen der Form von \(A_f\) kann man das charakteristische Polynom direkt ablesen: \((1-\lambda)^4=0\), sodass der einzige Eigenwert \(1\) ist.