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Aufgabe:

Beweisen von trigonometrischen Formeln: Bsp. sin(a/2) = √((1 - cos(a)/2)

Gegeben sind diese Ausdrücke, welche bewiesen werden sollen. Wie gehe ich vor?


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von

zu 1) nutze die bekannte Relation

$$sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1$$

und die Definition des Tangens

$$tan(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$$

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Beste Antwort

Aloha :)

Zum Beweis von solchen Winkelfunktions-Beziehungen sind die folgenden 3 Regeln sehr hilfreich:

(1) Trigonometrischer Pythagoras: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

(2) Additionstheorem für Cosinus: \(\,\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)

(3) Additionstheorem für Sinus: \(\;\;\;\;\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)

Wenn ich im Folgenden eine dieser Regeln anwende, schreibe ich die Nummern über das Gleichheitszeichen:

zu d)$$\frac{1}{\cos^2\alpha}\stackrel{(1)}{=}\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alpha$$

zu c)$$\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)}{2}}\stackrel{(2)}{=}\sqrt{\frac{1-\left(\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)}{2}}$$$$\stackrel{(1)}{=}\sqrt{\frac{\left(\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}\right)-\left(\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)}{2}}=\sqrt{\frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2}}=\sin\frac{\alpha}{2}$$

zu h)$$\sin\alpha+\sin\left(\alpha+\frac{2\pi}{3}\right)+\sin\left(\alpha+\frac{4\pi}{3}\right)$$$$\stackrel{(3)}{=}\sin\alpha+\left(\sin\alpha\,\underbrace{\cos\frac{2\pi}{3}}_{=-\frac{1}{2}}+\cos\alpha\,\underbrace{\sin\frac{2\pi}{3}}_{=\sqrt{\frac{3}{4}}}\right)+\left(\sin\alpha\,\underbrace{\cos\frac{4\pi}{3}}_{=-\frac{1}{2}}+\cos\alpha\,\underbrace{\sin\frac{4\pi}{3}}_{=-\sqrt{\frac{3}{4}}}\right)$$$$=\sin\alpha+\sin\alpha\cdot\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)+\cos\alpha\cdot\left(\sqrt{\frac{3}{4}}-\sqrt{\frac{3}{4}}\right)=\sin\alpha-\sin\alpha=0$$

von 7,1 k

Das Additionstheorem für Sinus ist falsch.

Danke Spacko... \o/

Ich habe falsch copy-pasted. Ist korrigiert. In der Rechnung war aber alles richtig.

Dankeschön! Nur noch zwei kleine Fragen, wie bist du bei c auf den vorletzten Schritt gekommen? also im Zähler auf die 2sin2 a/2?


Und bei h im letzten Schritt auf die -sin?

Bei dem Schritt in (c) kannst du die Klammern weglassen. Vor der zweiten Klammer steht allerdings ein Minuszeichen, daher ändern sich die Vorzeichen der Summanden beim Weglassen der zweiten Klammer:

$$(\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2})-(\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2})$$$$=\sin^2\frac{\alpha}{2}+\underbrace{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\cos^2\frac{\alpha}{2}}_{=0}+\sin^2\frac{\alpha}{2}$$$$=2\sin^2\frac{\alpha}{2}$$

Bei der (h) steht der Summand \(\sin\alpha\cdot\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)\). Die Klammer ergibt ausgerechnet \(-1\), sodass der Summand insgesamt zu \(-\sin\alpha\) wird.

+2 Daumen

a)

1 + TAN(x)^2 = 1/COS(x)^2
1 + SIN(x)^2/COS(x)^2 = 1/COS(x)^2
COS(x)^2 + SIN(x)^2 = 1

Das darf man denke ich als bekannt voraussetzen.

von 299 k

Für die anderen Aufgaben ist evtl. interessant was ihr überhaupt benutzen dürft.

Doppelwinkelfunktion

COS(2·x) = 1 - 2·SIN(x)^2

Hier evtl. substituieren und nach SIN auflösen.

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